Інтеграл Лебега

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Інтеграл Лебега — це узагальнення інтегралу Рімана на більш широкий клас функцій. Всі функції, визначені на скінченному відрізку числової прямої і інтегровні за Ріманом, є також інтегровні за Лебегом, причому в такому випадку обидва інтеграли збігаються. Однак, існує великий клас функцій, визначених на відрізку і інтегровних за Лебегом, але не інтегровних за Ріманом. Також інтеграл Лебега може застосовуватися до функцій, заданих на довільних множинах.

Ідея побудови інтеграла Лебега полягає в тому, що замість розбиття області визначення підінтегральної функції на частини і написання потім інтегральної суми із значень функції на цих частинах, на інтервали розбивають її область значень, а потім сумують з відповідними мірами міри прообразів цих інтервалів.

Означення[ред.ред. код]

Інтеграл Лебега визначають індуктивно, переходячи від простіших функцій до складних. Будем вважати, що дано простір з мірою (X,\mathcal{F},\mu), і на ньому визначена вимірна функція f:(X,\mathcal{F}) \to (\R, \mathcal{B}(\R)).

Означення 1. Нехай \,fіндикатор деякої вимірної множини f(x) = \mathbf{1}_A(x), где A \in \mathcal{F}. Тоді інтеграл Лебега функції \,f за означенням:

 \int\limits_X f(x)\, \mu(dx) \equiv \int\limits_X f\, d\mu = \mu( A ).

Означення 2. Нехай \,fпроста функція f(x) = \sum\limits_{i=1}^n f_i\, \mathbf{1}_{F_i}(x), де \{f_i\}_{i=1}^n \subset \R, а \{F_i\}_{i=1}^n \subset \mathcal{F} — скінченне розбиття \,X на вимірні множини. Тоді

\int\limits_X f(x)\, \mu(dx) = \sum\limits_{i=1}^n f_i\, \mu(F_i).

Означення 3. Нехай тепер \,f — невід’ємна функція, тобто f(x) \geq 0\; \forall x\in X. Розглянемо всі прості функції \,\{f_s\}, такі ,що f_s(x) \leq f(x)\; \forall x\in X. Позначимо це сімейство \mathcal{P}_f. Для кожної функції із цього сімейства уже визначений інтеграл Лебега. Тоді інтеграл від f задається формулою:

\int\limits_X f(x)\,\mu(dx) = \sup\left\{\int\limits_X f_s(x)\,\mu(dx)\; \vert\; f_s \in \mathcal{P}_f \right\}

Нарешті, якщо функція f довільного знаку, то її можна представити у вигляді різниці двох невід’ємних функцій. Дійсно, легко бачити, що:

\,f(x) = f^+(x) - f^-(x),

де

f^+(x) = \max(f(x),0),\; f^-(x) = - \min( 0, f(x)).

Означення 4. Нехай \,f — довільна вимірна функція. Тоді її інтеграл задаєтся формулою:

\int\limits_X f(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X f^+(x)\, \mu(dx) - \int\limits_X f^-(x)\, \mu(dx).

Означення 5. Нехай нарешті A \in \mathcal{F} довільна вимірна множина. Тоді за означенням

\int\limits_A f(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X f(x)\, \mathbf{1}_A(x)\, \mu(dx),

где \mathbf{1}_A(x)індикатор-функція множини A.

Приклад[ред.ред. код]

Розглянемо функцію Діріхле f(x) \equiv \mathbf{1}_{\mathbb{Q}_{[0,1]}}(x), задану на ([0,1],\mathcal{B}([0,1]),m), де \mathcal{B}([0,1])борелівська σ-алгебра на \,[0,1], а \,mміра Лебега. Ця функція принимає значення \,1 в раціональних точках і \,0 в ірраціональних. Легко побачити, що \,f не інтегровна в сенсі Рімана. Однак, вона є простою функцією на просторі зі скінченною мірою, бо приймає тільки два значення, а тому її інтеграл Лебега визначений і дорівнює:

\int\limits_{[0,1]}f(x)\, m(dx) = 1 \cdot m(\mathbb{Q}_{[0,1]}) + 0 \cdot m( [0,1] \setminus \mathbb{Q}_{[0,1]} ) = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0.

Дійсно, міра відрізка [0,1] дорівнює 1, і так як множина раціональних чисел зліченна, то його міра дорівнює 0, значить міра ірраціональних чисел дорівнює 1-0=1.

Зауваження[ред.ред. код]

  • Так як \,|f(x)| = f^+(x) + f^-(x), вимірна функція \,f(x) інтегровна за Лебегом тоді і тільки тоді, коли функція \,|f(x)| інтегровна за Лебегом. Ця властивість не виконується в відношенні інтеграла Рімана;
  • В залежності від вибору простору, міри і функції, інтеграл може бути скінченним чи нескінченним. Якщо інтеграл функції скінченний, то функція називається інтегровною за Лебегом .
  • Якщо функція визначена на ймовірносному просторі (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) і вимірна, то вона називається випадковою величиною, а її інтеграл називають математичним сподіванням чи середнім. Випадкова величина інтегровна, якщо вона має скінченне математичне сподівання.

Найпростіші властивості інтеграла Лебега[ред.ред. код]

  • Інтеграл Лебега лінійний, тобто
\int\limits_X[af(x)+bg(x)]\, \mu(dx) = a \int\limits_X f(x)\, \mu(dx) + b\int\limits_X g(x)\, \mu(dx) ,

де a,b\in \mathbb{R} — довільні константи;

  • Інтеграл Лебега зберігає нерівності, тобто якщо 0 \leq f(x) \leq g(x) майже скрізь, і \,g(x) інтегровна, то інтегровна і \,f(x), і більш того
0 \leq \int\limits_X f(x)\, \mu(dx) \leq \int\limits_X g(x)\, \mu(dx);
  • Інтеграл Лебега не залежить від поведінки функції на множині міри нуль, тобто якщо \,f(x) = g(x) майже скрізь, то
\int\limits_X f(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X g(x)\, \mu(dx).

Збіжність інтегралів Лебега від послідовностей функцій[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]