Інтеграл Лебега

Інтеграл Лебега — це узагальнення інтегралу Рімана на більш широкий клас функцій. Всі функції, визначені на скінченному відрізку числової прямої і інтегровні за Ріманом, є також інтегровні за Лебегом, причому в такому випадку обидва інтеграли збігаються. Однак, існує великий клас функцій, визначених на відрізку і інтегровних за Лебегом, але не інтегровних за Ріманом. Також інтеграл Лебега може застосовуватися до функцій, заданих на довільних множинах.

Ідея побудови інтеграла Лебега полягає в тому, що замість розбиття області визначення підінтегральної функції на частини і написання потім інтегральної суми із значень функції на цих частинах, на інтервали розбивають її область значень, а потім сумують з відповідними мірами міри прообразів цих інтервалів.

Означення

Інтеграл Лебега визначають індуктивно, переходячи від простіших функцій до складних. Будем вважати, що дано простір з мірою $(X,\mathcal{F},\mu)$, і на ньому визначена вимірна функція $f:(X,\mathcal{F}) \to (\R, \mathcal{B}(\R))$.

Означення 1. Нехай $\,f$ — індикатор деякої вимірної множини $f(x) = \mathbf{1}_A(x)$, где $A \in \mathcal{F}$. Тоді інтеграл Лебега функції $\,f$ за означенням:

$\int\limits_X f(x)\, \mu(dx) \equiv \int\limits_X f\, d\mu = \mu( A ).$

Означення 2. Нехай $\,f$ — проста функція $f(x) = \sum\limits_{i=1}^n f_i\, \mathbf{1}_{F_i}(x)$, де $\{f_i\}_{i=1}^n \subset \R$, а $\{F_i\}_{i=1}^n \subset \mathcal{F}$ — скінченне розбиття $\,X$ на вимірні множини. Тоді

$\int\limits_X f(x)\, \mu(dx) = \sum\limits_{i=1}^n f_i\, \mu(F_i)$.

Означення 3. Нехай тепер $\,f$ — невід’ємна функція, тобто $f(x) \geq 0\; \forall x\in X$. Розглянемо всі прості функції $\,\{f_s\}$, такі ,що $f_s(x) \leq f(x)\; \forall x\in X$. Позначимо це сімейство $\mathcal{P}_f$. Для кожної функції із цього сімейства уже визначений інтеграл Лебега. Тоді інтеграл від $f$ задається формулою:

$\int\limits_X f(x)\,\mu(dx) = \sup\left\{\int\limits_X f_s(x)\,\mu(dx)\; \vert\; f_s \in \mathcal{P}_f \right\}$

Нарешті, якщо функція $f$ довільного знаку, то її можна представити у вигляді різниці двох невід’ємних функцій. Дійсно, легко бачити, що:

$\,f(x) = f^+(x) - f^-(x),$

де

$f^+(x) = \max(f(x),0),\; f^-(x) = - \min( 0, f(x))$.

Означення 4. Нехай $\,f$ — довільна вимірна функція. Тоді її інтеграл задаєтся формулою:

$\int\limits_X f(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X f^+(x)\, \mu(dx) - \int\limits_X f^-(x)\, \mu(dx)$.

Означення 5. Нехай нарешті $A \in \mathcal{F}$ довільна вимірна множина. Тоді за означенням

$\int\limits_A f(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X f(x)\, \mathbf{1}_A(x)\, \mu(dx)$,

где $\mathbf{1}_A(x)$ — індикатор-функція множини $A$.

Приклад

Розглянемо функцію Діріхле $f(x) \equiv \mathbf{1}_{\mathbb{Q}_{[0,1]}}(x)$, задану на $([0,1],\mathcal{B}([0,1]),m)$, де $\mathcal{B}([0,1])$ — борелівська σ-алгебра на $\,[0,1]$, а $\,m$ — міра Лебега. Ця функція принимає значення $\,1$ в раціональних точках і $\,0$ в ірраціональних. Легко побачити, що $\,f$ не інтегровна в сенсі Рімана. Однак, вона є простою функцією на просторі зі скінченною мірою, бо приймає тільки два значення, а тому її інтеграл Лебега визначений і дорівнює:

$\int\limits_{[0,1]}f(x)\, m(dx) = 1 \cdot m(\mathbb{Q}_{[0,1]}) + 0 \cdot m( [0,1] \setminus \mathbb{Q}_{[0,1]} ) = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0.$

Дійсно, міра відрізка $[0,1]$ дорівнює 1, і так як множина раціональних чисел зліченна, то його міра дорівнює 0, значить міра ірраціональних чисел дорівнює $1-0=1$.

Зауваження

• Так як $\,|f(x)| = f^+(x) + f^-(x)$, вимірна функція $\,f(x)$ інтегровна за Лебегом тоді і тільки тоді, коли функція $\,|f(x)|$ інтегровна за Лебегом. Ця властивість не виконується в відношенні інтеграла Рімана;
• В залежності від вибору простору, міри і функції, інтеграл може бути скінченним чи нескінченним. Якщо інтеграл функції скінченний, то функція називається інтегровною за Лебегом .
• Якщо функція визначена на ймовірносному просторі $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ і вимірна, то вона називається випадковою величиною, а її інтеграл називають математичним сподіванням чи середнім. Випадкова величина інтегровна, якщо вона має скінченне математичне сподівання.

Найпростіші властивості інтеграла Лебега

• Інтеграл Лебега лінійний, тобто

$\int\limits_X[af(x)+bg(x)]\, \mu(dx) = a \int\limits_X f(x)\, \mu(dx) + b\int\limits_X g(x)\, \mu(dx)$,

де $a,b\in \mathbb{R}$ — довільні константи;

• Інтеграл Лебега зберігає нерівності, тобто якщо $0 \leq f(x) \leq g(x)$ майже скрізь, і $\,g(x)$ інтегровна, то інтегровна і $\,f(x)$, і більш того

$0 \leq \int\limits_X f(x)\, \mu(dx) \leq \int\limits_X g(x)\, \mu(dx)$;

• Інтеграл Лебега не залежить від поведінки функції на множині міри нуль, тобто якщо $\,f(x) = g(x)$ майже скрізь, то

$\int\limits_X f(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X g(x)\, \mu(dx)$.

Збіжність інтегралів Лебега від послідовностей функцій

• Теорема Леві про монотонну збіжність;
• Теорема Лебега про мажоровану збіжність;
• Інтеграл Бохнера;
• Лема Фату.

Джерела

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. (1976). Элементы теории функций и функционального анализа (вид. четверте). Москва: Наука. с. 544. ISBN 5-9221-0266-4.