Інтеграл Лебега

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Лагранжа Теорема Ролля Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь Складена функція Обернена функція Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Ліміт сумування д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз

Інтеграл Лебега — це узагальнення інтегралу Рімана на більш широкий клас функцій. Всі функції, визначені на скінченному відрізку числової прямої і інтегровні за Ріманом, є також інтегровні за Лебегом, причому в такому випадку обидва інтеграли збігаються. Однак, існує великий клас функцій, визначених на відрізку і інтегровних за Лебегом, але не інтегровних за Ріманом. Також інтеграл Лебега може застосовуватися до функцій, заданих на довільних множинах.

Ідея побудови інтеграла Лебега полягає в тому, що замість розбиття області визначення підінтегральної функції на частини і написання потім інтегральної суми із значень функції на цих частинах, на інтервали розбивають її область значень, а потім сумують з відповідними мірами міри прообразів цих інтервалів.

Означення

Інтеграл Лебега визначають індуктивно, переходячи від простіших функцій до складних. Будем вважати, що дано простір з мірою $(X,{\mathcal {F}},\mu )$, і на ньому визначена вимірна функція $f\colon (X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$.

Означення 1. Нехай $\,f$ — індикатор деякої вимірної множини $f(x)=\mathbf {1} _{A}(x)$, де $A\in {\mathcal {F}}$. Тоді інтеграл Лебега функції $\,f$ за означенням:

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\equiv \int \limits _{X}f\,d\mu =\mu (A).$

Означення 2. Нехай $\,f$ — проста функція $f(x)=\sum \limits _{i=1}^{n}f_{i}\,\mathbf {1} _{F_{i}}(x)$, де $\{f_{i}\}_{i=1}^{n}\subset \mathbb {R}$, а $\{F_{i}\}_{i=1}^{n}\subset {\mathcal {F}}$ — скінченне розбиття $\,X$ на вимірні множини. Тоді

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\sum \limits _{i=1}^{n}f_{i}\,\mu (F_{i})$.

Означення 3. Нехай тепер $\,f$ — невід’ємна функція, тобто $f(x)\geq 0\;\forall x\in X$. Розглянемо всі прості функції $\,\{f_{s}\}$, такі ,що $f_{s}(x)\leq f(x)\;\forall x\in X$. Позначимо це сімейство ${\mathcal {P}}_{f}$. Для кожної функції із цього сімейства уже визначений інтеграл Лебега. Тоді інтеграл від $f$ задається формулою:

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\sup \left\{\int \limits _{X}f_{s}(x)\,\mu (dx)\;\vert \;f_{s}\in {\mathcal {P}}_{f}\right\}$

Нарешті, якщо функція $f$ довільного знаку, то її можна представити у вигляді різниці двох невід’ємних функцій. Дійсно, легко бачити, що:

$\,f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x),$

де

$f^{+}(x)=\max(f(x),0),\;f^{-}(x)=-\min(0,f(x))$.

Означення 4. Нехай $\,f$ — довільна вимірна функція. Тоді її інтеграл задаєтся формулою:

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f^{+}(x)\,\mu (dx)-\int \limits _{X}f^{-}(x)\,\mu (dx)$.

Означення 5. Нехай нарешті $A\in {\mathcal {F}}$ довільна вимірна множина. Тоді за означенням

$\int \limits _{A}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f(x)\,\mathbf {1} _{A}(x)\,\mu (dx)$,

де $\mathbf {1} _{A}(x)$ — індикатор-функція множини $A$.

Приклад

Розглянемо функцію Діріхле $f(x)\equiv \mathbf {1} _{\mathbb {Q} _{[0,1]}}(x)$, задану на $[0,1]$. Ця функція набуває значення $\,1$ у раціональних точках і $\,0$ — в ірраціональних. Легко побачити, що $\,f$ не інтегровна в сенсі Рімана. Однак, на просторі зі скінченною мірою $({\mathcal {B}}([0,1]),m)$, де ${\mathcal {B}}([0,1])$ — борелівська σ-алгебра на $\,[0,1]$, а $\,m$ — міра Лебега, вона є простою функцією, бо набуває тільки двох значень, а тому її інтеграл Лебега визначений і дорівнює:

$\int \limits _{[0,1]}f(x)\,m(dx)=1\cdot m(\mathbb {Q} _{[0,1]})+0\cdot m([0,1]\setminus \mathbb {Q} _{[0,1]})=1\cdot 0+0\cdot 1=0.$

Справді, міра відрізка $[0,1]$ дорівнює $1$. Оскільки множина раціональних чисел зліченна, то її міра $m(\mathbb {Q} _{[0,1]})$ дорівнює $0$. Значить міра ірраціональних чисел $m([0,1]\setminus \mathbb {Q} _{[0,1]})$ дорівнює $1-0=1$.

Зауваження

• Так оскільки $\,|f(x)|=f^{+}(x)+f^{-}(x)$, то вимірна функція $\,f(x)$ інтегровна за Лебегом тоді й тільки тоді, коли функція $\,|f(x)|$ інтегровна за Лебегом. Ця властивість не виконується для інтеграла Рімана;
• Залежно від вибору простору, міри і функції, інтеграл може бути скінченним чи нескінченним. Якщо інтеграл функції скінченний, то функція називається інтегровною за Лебегом.
• Якщо функція визначена на ймовірнісному просторі $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ і вимірна, то вона називається випадковою величиною, а її інтеграл називають математичним сподіванням чи середнім. Випадкова величина інтегровна, якщо вона має скінченне математичне сподівання.

Найпростіші властивості інтеграла Лебега

• Інтеграл Лебега лінійний, тобто

$\int \limits _{X}[af(x)+bg(x)]\,\mu (dx)=a\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)+b\int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$,

де $a,b\in \mathbb {R}$ — довільні константи;

• Інтеграл Лебега зберігає нерівності, тобто якщо $0\leq f(x)\leq g(x)$ майже скрізь, і $\,g(x)$ інтегровна, то інтегровна і $\,f(x)$, і більш того

$0\leq \int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\leq \int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$;

• Інтеграл Лебега не залежить від поведінки функції на множині міри нуль, тобто якщо $\,f(x)=g(x)$ майже скрізь, то

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$.

Збіжність інтегралів Лебега від послідовностей функцій

• Теорема Леві про монотонну збіжність;
• Теорема Лебега про мажоровану збіжність;
• Інтеграл Бохнера;
• Лема Фату.

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)