Факторпростір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Хай є множина X, на якій введено відношення еквівалентності ~ (тобто яке має такі властивості: кожен елемент множини еквівалентний сам собі; якщо x еквівалентно у, то у еквівалентно x; якщо x еквівалентно у, а у еквівалентно z, то x еквівалентно z). Тоді множина всіх класів еквівалентності називається фактормножиною і позначається X/~. Розбиття множини на класи еквівалентних елементів називається його факторізациєю.

[ред.] Приклади

Факторизацію множини розумно застосовувати для отримання нормованих просторів із напівнормованих, просторів зі скалярним добутком, просторів із майже скалярним добутком тощо. Для цього вводиться відповідно норма класу, що рівна нормі довільного його елементу, і скалярний добуток класів як скалярний добуток довільних елементів класів. У свою чергу співвідношення еквівалентностей вводиться таким чином (наприклад для утворення нормованого факторпростору): вводиться підмножина початкового напівнормованого простору, що складається з елементів з нульовою напівнормою (до речі, воно лінійне, тобто є підпростором) і вважається, що два елементи еквівалентні, якщо різниця їх належить цьому самому підпростору.

Якщо для факторізації лінійного простору вводитися деякий його підпростір і вважається, що якщо різниця двох елементів простору належить цьому підпростору, то ці елемнети еквівалентні, то фактормножина є лінійним простором і називається факторпростором.