AQUAL

AQUAL — це теорія гравітації, яка базується на модифікованій динаміці Ньютона (МОНД, MOND), але використовує лагранжеве формулювання для забезпечення виконання законів збереження. Вона була розроблена Джейкобом Бекенштейном і Мордехаєм Мілґромом у статті 1984 року «Чи вказує проблема відсутності маси на порушення ньютонівської гравітації?». «AQUAL» розшифровується як «квадратичний лагранжіан» (англ. A QUAdratic Lagrangian).

Це формулювання МОНД дозволило зробити успішні незвідані передбачення для вертикальної кінематики зір у Чумацькому Шляху, співвідношень для центральної поверхневої густини у галактиках, та деяких інших залежностей, які не може пояснити гіпотеза темної матерії.

Невиконання законів збереження у МОНД

Рівняння руху тіла з масою $m$ у полі сили тяжіння точкового тіла масою $M$, отримуване з МОНД:

$m\mu \left({\frac {a}{a_{0}}}\right){\vec {a}}=-{\frac {GMm}{r^{3}}}{\vec {r}},$

має серйозну ваду: воно не зберігає імпульс та момент імпульсу. Щоб переконатися в цьому, розглянемо два тіла з масами $m\neq M$ і вектор ${\vec {r}}$ від тіла $M$ до тіла $m$; тоді з МОНД маємо

$\mu \left({\frac {a_{m}}{a_{0}}}\right)m{\vec {a}}_{m}=-{\frac {GMm}{r^{3}}}{\vec {r}}$

$\mu \left({\frac {a_{M}}{a_{0}}}\right)M{\vec {a}}_{M}={\frac {GMm}{r^{3}}}{\vec {r}}$

Що дає:

$\mu \left({\frac {a_{m}}{a_{0}}}\right)m{\vec {a}}_{m}+\mu \left({\frac {a_{M}}{a_{0}}}\right)M{\vec {a}}_{M}=0$

Для малих прискорень $\mu (x)\approx x$, тоді:

$m{\frac {a_{m}}{a_{0}}}{\vec {a}}_{m}=-M{\frac {a_{M}}{a_{0}}}{\vec {a}}_{M}$

${\sqrt {m}}{\vec {a}}_{m}=-{\sqrt {M}}{\vec {a}}_{M}$

Що після інтегрування дає:

${\sqrt {m}}{\vec {v}}_{m}+{\sqrt {M}}{\vec {v}}_{M}={\vec {\text{const}}}$

Що відрізняється від закону збереження імпульсу:

$m{\vec {v}}_{m}+M{\vec {v}}_{M}={\vec {\text{const}}}$

Лагранжеве формулювання МОНД

Цю проблему можна вирішити шляхом виведення закону сили з лагранжіана ціною, можливо, зміни загальної форми закону сили. Тоді закони збереження можна було б отримати з лагранжіана звичайними засобами.

Лагранжіан (точніше, лагранжева густина) AQUAL записується схоже до Ньютонівського:

${\mathcal {L}}={\frac {\rho v^{2}}{2}}-\rho \Phi -{\frac {1}{8\pi G}}a_{0}^{2}F\left({\frac {|\nabla \Phi |^{2}}{a_{0}^{2}}}\right)$

Він призводить до модифікованого рівняння Пуассона:

$\nabla \cdot \left(\mu \left({\frac {|\nabla \Phi |}{a_{0}}}\right)\nabla \Phi \right)=4\pi G\rho$

де $\mu (x)={\frac {dF(x^{2})}{dx}}$, а передбачене прискорення:

$a=-\nabla \Phi$

Ці рівняння зводяться до рівнянь MOND у сферично-симетричному випадку, проте вони дещо відрізняються у випадку диска, необхідного для моделювання спіральних або лінзоподібних галактик. Однак різниця становить лише 10–15%, тому на результати вона серйозно не впливає.

За словами Сандерса та МакГафа, однією з проблем AQUAL (або будь-якої скалярно-тензорної теорії, в якій скалярне поле входить як конформний фактор, що множить метрику Ейнштейна) є неспроможність AQUAL передбачити кількість гравітаційних лінз, які насправді спостерігаються в багатих скупченнях галактик.

Література

• Jacob Bekenstein & M. Milgrom (1984). Does the missing mass problem signal the breakdown of Newtonian gravity?. Astrophys. J. 286: 7—14. Bibcode:1984ApJ...286....7B. doi:10.1086/162570.
• Milgrom, M (1986). Solutions for the modified Newtonian dynamics field equation. Astrophys. J. 302: 617—625. Bibcode:1986ApJ...302..617M. doi:10.1086/164021.
• Bekenstein, Jacob D (2009). Relativistic MOND as an alternative to the dark matter paradigm. Nuclear Physics A. 827: 555—560. arXiv:0901.1524. Bibcode:2009NuPhA.827..555B. doi:10.1016/j.nuclphysa.2009.05.122.
• Kyu-Hyun Chae (2023) Breakdown of the Newton–Einstein Standard Gravity at Low Acceleration in Internal Dynamics of Wide Binary Stars. The Astrophysical Journal, Volume 952, Number 2, 128 DOI:10.3847/1538-4357/ace101