Лагранжіан

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Класична механіка
\bold{F} = \frac{d\bold{p}}{dt}
Другий закон Ньютона
Історія класичної механіки

Функція Лагранжа  \mathcal {L} [\varphi_i] фізичної системифункція узагальнених координат  \ \varphi_i (s) , що використовується у фізиці для побудови через певний варіаційний принцип рівнянь руху, які описують еволюцію фізичної системи. Наприклад рівняння руху класичної механіки в цьому підході отримуються з принципу найменшої дії, що записується як

 \frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \varphi_i} = 0

де дія  \mathcal{S}  — функціонал, який визначається через функцію Лагранжа як

 \mathcal{S}[\varphi_i] = \int{\mathcal{L}[\varphi_i(s)]{}\,d^ns},

а \varphi_i — узагальнені координати (наприклад, координати частинок або польові змінні),\ s_j означає множину параметрів системи, у випадку класичної механіки — незалежні просторові координати і час, а більш широко — також електричні або інші фізичні параметри.

Функцію Лангранжа називають також лагранжіаном, однак такий вжиток має жаргонний відтінок, оскільки зазвичай суфікс -іан застосовується до квантових аналогів класичних функцій — наприклад, функція Гамільтонагамільтоніан, функція Лагранжа — лагранжіан. Лагранжіаном також часто називають густину функції Лагранжа (див. нижче).

Рівняння, отримані з прирівнювання до нуля функціональної похідної функціонала по всіх напрямках, ідентичні до звичайних рівнянь Ейлера-Лагранжа. Динамічні системи, рівняння для яких можуть бути отримані з принципу найменшої дії для зручно вибраної функції Лагранжа, відомі як динамічні системи Лагранжа.

Існує багато прикладів динамічних систем Лагранжа, починаючи з класичної версії Стандартної Моделі в фізиці елементарних частинок і закінчуючи рівняннями Ньютона в класичній механіці. Також до цієї області відносяться чисто математичні проблеми, такі як задача знаходження геодезичних рівнянь і проблема Плато.

Поняття назване на честь Жозефа Луї Лагранжа.

Приклад з класичної механіки[ред.ред. код]

Поняття функції Лагранжа початково було введене для переформулювання класичної механіки у вигляді, відомому як механіка Лагранжа. В цьому контексті функція Лагранжа зазвичай береться у вигляді різниці кінетичної і потенціальної енергії механічної системи.

Для матеріальної точки у тривимірному просторі функція Лагранжа може бути записана у вигляді

 \mathcal{L} = \frac{1}{2} m\dot{\vec{x}}^2-V(\vec{x}),

де похідна по часу позначається крапкою над диференційованою величиною, \vec{x} — радіус-вектор частинки, m — її маса і V — потенціальна енергія. Тоді рівняння Ейлера-Лагранжа буде:

m\ddot{\vec{x}}+\nabla V=0,

де \nabla — градієнт.

Цей підхід еквівалентний до рівнянь Ньютона. Сила виражається через потенціал як :\vec{F}=- \nabla V(x).

Тоді рівняння

\vec{F}=m\ddot{\vec{x}},

яке є аналогічним до рівняння Ньютона для тіла з постійною масою. Прості обчислення ведуть до виразу

\vec{F}=d\vec{p}/dt,

що є записом другого закону Ньютона в узагальненій формі.

Для тривимірної системи зі сферичними координатами r, θ, φ з фунцією Лагранжа

\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)-V(r)

можна отримати наступні рівняння Ейлера-Лагранжа:

m\ddot{r}-mr(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)+V' =0,
\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta}) -mr^2\sin\theta\cos\theta\dot{\varphi}^2=0,
\frac{d}{dt}(mr^2\sin^2\theta\dot{\varphi})=0.

Функція Лагранжа швидкої частинки[ред.ред. код]

Для релятивістської частинки функція Лагранжа збігається зі швидкістю зростання довжини її світової лінії в просторі Мінковського або власного часу з точністю з точністю до сталого множника:

 \mathcal{L} = -m c^2 d\tau/dt = -m c^2 \sqrt{1 - v^2/c^2},

де v — звичайна тривимірна швидкість частинки, c — швидкість світла, m — маса частинки.

За допомогою цієї фунції Лагранжа можна отримати рівняння класичної динаміки релятивістських частинок.

Теорія поля[ред.ред. код]

В теорії поля розрізняють функцію Лагранжа  \mathcal{L} , через яку дія виражається як інтеграл тільки по часу

S = \int{\mathcal{L} \, dt}

і густину функції Лагранжа \Lambda, яку потрібно інтегрувати по всьому чотиривимірному[1] простору-часу:

S [\varphi_i] = \int{\Lambda [\varphi_i (x)]\, d^4x}.

Тоді функція Лагранжа — це інтеграл по просторових змінних від густини функції Лагранжа.

І те, й інше часто називають лагранжіаном, останнім часом переважно саме густину функції Лагранжа \Lambda. Це корисно в релятивістських теоріях, оскільки густина функції Лагранжа визначена локально.

Квантові теорії поля у фізиці елементарних частинок, такі як квантова електродинаміка, зазвичай описуються в термінах \Lambda. Ця форма зручна, оскільки легко переводиться в правила, що використовуються для оцінки діаграм Фейнмана.

Електромагнітний лагранжіан [2][ред.ред. код]

Електростатика[ред.ред. код]

Електростатика (фізика статичних — тобто повільнозмінних) електричних полів, які можна (приблизно або точно) описати скалярним[3] потенціалом і зарядженої речовини, що досить повільно рухається і, таким чином, підкоряється Ньютонівській механіці, може бути в цілому описана практично в рамках класичної механіки.

В класичній механіці лагранжіан це

 \mathcal{L} = T - V

де T — кінетична енергія і V — потенціальна енергія.

Для зарядженої частинки мосою m і зарядом q, що знаходиться в електричному (електростатичному) полі зі скалярним потенціалом φ, кінетична енергія задається виразом

 T_s = {1 \over 2} m \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} — для однієї частинки (для багатьох береться сума).

Енергія взаємодії поля з зарядженою речовиною має вигляд

 V = q\phi\ для одного точкового заряду (для багатьох сумується),

або

 V = \int \rho\phi\ dx dy dz — вигляд для неперервного розподілу заряду.

(І той і інший вигляд корисно виписати окремо, хоча, звичайно, вони зводяться один до одного, якщо використовувати дельта-функцію). Енергія поля входить в член кінетичної енергії разом з кінетичною енергією частинок[4], записуючись як:

 T_f = \int {1 \over 2 \varkappa} (\nabla \phi)^2 dx dy dz,

де \varkappa — «силова константа», що входить в кінцевому варіанті в закон Кулона.

Таким чином, лагранжіан електростатики, що включає в себе і кінетичну енергію (повільного) руху зараджених чатинок, має такий вигляд:

 \mathcal{L} = T_f - V + T_s,

(кожен його член виписаний нижче).

  • Звичайно, цей лагранжіан може бути при необхідності доповнений іншими членами, що описують неелектричні сили, наприклад, енергією пружності і т.ін.

Проваріювавши дію з описаним в цьому параграфі лагранжіаном[5], легко отримати рівняння поля для електростатики (рівняння Пуассона):

\nabla^2 \phi = - \varkappa \rho

і рівняння руху частинки в електростатичному полі (що в цілому збігається з отриманим в прикладі для класичної частинки на початку статті):

m \dot{\mathbf v} = - q \nabla \phi.

Електродинаміка[ред.ред. код]

Тривимірне формулювання[ред.ред. код]

У випадку електродинаміки доводиться користуватися вже не класичною потенціальною енергією, а узагальненою (залежною також від швидкостей) потенціальною енергією (енергією взаємодії):

 V = q\phi - {q \over c} \mathbf{v} \cdot \mathbf{A}

або

 V = \int (\rho\phi - {1 \over c} \mathbf{j} \cdot \mathbf{A}) dx dy dz

де c — швидкість світла, v — швидкість частинки, j — вектор густини струму.

Енергія електромагнітного поля також повинна включати порівняно з випадком електростатики ще й енергію магнітного поля[6]:

 T_f = \int \frac{1}{2\varkappa} (E^2 - H^2) dx dy dz,

де E і H слідує вважати вираженими через електричний потенціал ф і векторний потенціал А:

\mathbf E = -\nabla\phi - {1 \over c} \frac{\partial\mathbf A}{\partial t},~~~~~~~ \mathbf H = \mathbf{rot} \mathbf A.


Тоді електромагнітний лагранжіан запишеться у вигляді

 L = T_f  - q\phi + {q \over c} \mathbf{v} \cdot \mathbf{A} + T_s.

або

 L = T_f  + \int (-\rho\phi + {1 \over c} \mathbf j\ \cdot \mathbf{A}) dx dy dz + T_s.

Тут в якості лагранжіану речовини T_s можна використовувати наближений вираз для повільних частинок, як описано в параграфі про електростатику, а можна використовувати (так як для електродинаміки, необмеженої повільними рухами, це актуально) релятивістський лагранжіан для швидких частинок

T_s = -m c^2 d\tau/dt = -m c^2 \sqrt{1-v^2}.

Як і у випадку електростатики, при необхідності до цього лагранжіану можуть бути дописані додаткові члени, що описують неелектромагнітні сили, інші поля і т.д, що, загалом, виходить за рамки задачі опису електромагнітного лагранжіану. Строго кажучи, виписування кінетичної енергії речовини також виходить за ці рамки, однак ми його виписали, щоб опис зберігав цілісність.

При варіюванні дії з цим лагранжіаном по ф і по A_x, A_y, A_z (незалежно по кожному, використовуючи другу форму запису лагранжіану), виходять рівняння Максвела, а при варіюванні по координатах заряджених частинок — використовуючи першу форму запису — рівняння руху заряджених частинок в полі, що зводиться до:

d\mathbf p/d t = \mathbf F_L,,

де p — (тривимірний) імпульс частинки, \mathbf F_L — сила Лоренца (включаючи електричний член).

Однак простіше і швидше таке виведення виходить в чотиривимірному формулюванні (див.далі).

Чотиривимірне формулювання[ред.ред. код]

В чотиривимірному формулюванні густина лагранжіану електромагнітного поля, його взаємодії з зарядженою речовиною і самої речовини виглядає так (використовуючи систему одиниць c=1):

L = \frac{1}{4\varkappa} F_{ik}F^{ik} + A_i j^i + L_s.

Другий член (що описує взаємодію) можна переписати так, що відповідна дія буде:

S_{int} = - \int q A_i dx^i.

(Член L_s — звичайна густина лагранжіану швидкої — в загальному випадку — частинки; явно її можна не виписувати, оскільки для класичної теорії вона не потрібна, так як для неї потрібен лагранжіан такої частинки, виписаний як завжди — див. вище — а не його густина).

Тут c — швидкість світла, F^{ik} — тензор електромагнітного поля (в лагранжіан входить його згортка — квадрат), A_i — 4-потенціал, j^i — чотиривимірна густина струму, dx^i — 4-переміщення; мається на увазі нотація Ейнштейна сумування по повторюваному індексу.

Варіюванням по A_i легко отримуються рівняння Максвела в чотиривимірній формі:

\partial_i F^{ik} = \varkappa j^k,

а варіюванням по x^i — рівняння руху для частинки:

d p_i/d\tau = q F_{ik}u^k,\

де p_i = m u_i — 4-імпульс, u^k — 4-швидкість.

Лагранжіан квантової теорії поля[ред.ред. код]

Лагранжіан квантової теорії поля в принципі збігається з класичним, за винятком випадків, коли для деякої частини польових змінних важко ввести класичні аналоги або їх коректно інтерпретувати; хоча, і тоді зазвичай можна, хоча б чисто формально, отримати те, що називається класичним рівнянням руху, використавши замість тієї або іншої процедури квантування поля з даним лагранжіаном наближення стаціонарної фази (стаціонарної дії) — тобто знайшовши класичне наближення опису системи.

Таким чином, лагранжіани, виписані нижче, не є у визначеному сенсі специфічними тільки для квантової теорії відповідних полів; тим не менше вони в квантовій теорії поля використовуються, будучи в деякому відношенні її основою.

Лагранжіан квантової електродинаміки[ред.ред. код]

Густина лагранжіану для КЕД

 \mathcal{L} = \bar \psi (i \not \!\, D - m) \psi - {1 \over 4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}

де ψ — біспінор,  \bar \psi = \psi^\dagger \gamma^0  — його діраковське спряження, \! F^{\mu\nu} — 4-тензор електромагнітного поля, D — калібрувальна коваріантна похідна, і  \not \!\, D  — позначення Фейнмана для \! \gamma^\sigma D_\sigma .

Лагранжіан Дірака[ред.ред. код]

Густина лагранжіану для діраковського поля

 \mathcal{L} = \bar \psi (i \not \! \; \partial - m) \psi .

Лагранжіан квантової хромодинаміки[ред.ред. код]

Густина лагранжіану для квантової хромодинаміки [1]

 \mathcal{L} = -{1\over 4} F^\alpha {}_{\mu\nu} F_\alpha {}^{\mu\nu} - \sum_n \bar \psi_n (\not\!\, D_\mu + m_n) \psi_n

де \! D_\mu — калібрувальна коваріантна похідна КХД, и \! F^\alpha {}_{\mu\nu}  — тензор напруженості глюонного поля.

Примітки[ред.ред. код]

  1. а в деяких теоріях і більш багатовимірному
  2. В цьому пункті йде мова про чисто класичну (не квантову) електродинаміку, особливо це стосується зарядженої речовини, з якою взаємодіє електромагнітне поле — тобто і члена взаємодії, і лагранжіана власне речовини (а лагранжіан вільного електромагнітного поля вцілому той самий для класичної і квантової теорії).
  3. Тут зазвичай мається на увазі скаляр звичайного тривимірного простору, а не інваріант перетворень Лоренца.
  4. Це визначається знаком, який повинен вийти в результаті в рівняннях руху і тим, що з певних міркувань енергію поля хочеться мати додатньою. Все це може бути більш-меньш строго обгрунтовано, але тут ми обмежимось щойно наведеними простими міркуваннями.
  5. Для отримання рівняння поля зручніше використовувати лагранжіан взаємодії, виражений через \rho, для отримання рівняння руху частинки в полі — через положення точкової частинки (через q\phi).
  6. Питання про знаки, як це було зроблено вище для електростатичного поля, не будемо тут детально обговорювати, хоча достатньо строге обгрунтування й існує, обмежимось знову зауваженням, що саме такі знаки дають потрібні знаки в готових рівняннях.

Посилання[ред.ред. код]