Лагранжіан

Класична механіка

$\bold{F} = \frac{d\bold{p}}{dt}$

Другий закон Ньютона

Історія класичної механіки Розділи Статика · Кінематика · Динаміка · Небесна механіка · Механіка суцільних середовищ · Статистична механіка Фундаментальні поняття Простір · Час · Система відліку · Маса · Інерція · Швидкість · Прискорення · Імпульс · Сила · Гравітація · Момент імпульсу · Момент сили · Момент інерції · Енергія · Кінетична енергія · Потенціальна енергія · Механічна робота · Потужність Основні принципи Принцип відносності · Закони збереження · Принцип д'Аламбера — Лагранжа · Принцип найменшої дії · Теорема Нетер Рівняння Рівняння Лагранжа I роду · Рівняння Лагранжа — Ейлера · Кінематичні рівняння Ейлера · Рівняння Гамільтона Важливі теми Малі коливання · Задача двох тіл · Абсолютно тверде тіло Формулювання Механіка Ньютона · Механіка Лагранжа · Механіка Гамільтона · Формалізм Гамільтона — Якобі Відомі науковці Архімед · Галілей · Ньютон · Кеплер · Ейлер · д'Аламбер · Лагранж · Лаплас · Гамільтон · Коші · Герц · Якобі

Функція Лагранжа $\mathcal {L} [\varphi_i]$ фізичної системи — функція узагальнених координат $\ \varphi_i (s)$, що використовується у фізиці для побудови через певний варіаційний принцип рівнянь руху, які описують еволюцію фізичної системи. Наприклад рівняння руху класичної механіки в цьому підході отримуються з принципу найменшої дії, що записується як

$\frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \varphi_i} = 0$

де дія $\mathcal{S}$ — функціонал, який визначається через функцію Лагранжа як

$\mathcal{S}[\varphi_i] = \int{\mathcal{L}[\varphi_i(s)]{}\,d^ns},$

а $\varphi_i$ — узагальнені координати (наприклад, координати частинок або польові змінні),$\ s_j$ означає множину параметрів системи, у випадку класичної механіки — незалежні просторові координати і час, а більш широко — також електричні або інші фізичні параметри.

Функцію Лангранжа називають також лагранжіаном, однак такий вжиток має жаргонний відтінок, оскільки зазвичай суфікс -іан застосовується до квантових аналогів класичних функцій — наприклад, функція Гамільтона — гамільтоніан, функція Ларганжа — лагранжіан. Лагранжіаном також часто називають густину функції Лагранжа (див. нижче).

Рівняння, отримані з прирівнювання до нуля функціональної похідної функціонала по всіх напрямках, ідентичні до звичайних рівнянь Ейлера-Лагранжа. Динамічні системи, рівняння для яких можуть бути отримані з принципу найменшої дії для зручно вибраної функції Лагранжа, відомі як динамічні системи Лагранжа.

Існує багато прикладів динамічних систем Лагранжа, починаючи з класичної версії Стандартної Моделі в фізиці елементарних частинок і закінчуючи рівняннями Ньютона в класичній механіці. Також до цієї області відносяться чисто математичні проблеми, такі як задача знаходження геодезичних рівнянь і проблема Плато.

Поняття назване на честь Жозефа Луї Лагранжа.

Приклад з класичної механіки

Поняття функції Лагранжа початково було введене для переформулювання класичної механіки у вигляді, відомому як механіка Лагранжа. В цьому контексті функція Лагранжа зазвичай береться у вигляді різниці кінетичної і потенціальної енергії механічної системи.

Для матеріальної точки у тривимірному просторі функція Лагранжа може бути записана у вигляді

$\mathcal{L} = \frac{1}{2} m\dot{\vec{x}}^2-V(\vec{x}),$

де похідна по часу позначається крапкою над диференційованою величиною, $\vec{x}$ — радіус-вектор частинки, m — її маса і V — потенціальна енергія. Тоді рівняння Ейлера-Лагранжа буде:

$m\ddot{\vec{x}}+\nabla V=0$,

де $\nabla$ — градієнт.

Цей підхід еквівалентний до рівнянь Ньютона. Сила виражається через потенціал як :$\vec{F}=- \nabla V(x)$.

Тоді рівняння

$\vec{F}=m\ddot{\vec{x}}$,

яке є аналогічним до рівняння Ньютона для тіла з постійною масою. Прості обчислення ведуть до виразу

$\vec{F}=d\vec{p}/dt$,

що є записом другого закону Ньютона в узагальненій формі.

Для тривимірної системи зі сферичними координатами r, θ, φ з фунцією Лагранжа

$\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)-V(r)$

можна отримати наступні рівняння Ейлера-Лагранжа:

$m\ddot{r}-mr(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)+V' =0,$

$\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta}) -mr^2\sin\theta\cos\theta\dot{\varphi}^2=0,$

$\frac{d}{dt}(mr^2\sin^2\theta\dot{\varphi})=0.$

Функція Лагранжа швидкої частинки

Для релятивістської частинки функція Лагранжа збігається зі швидкістю зростання довжини її світової лінії в просторі Мінковського або власного часу з точністю з точністю до сталого множника:

$\mathcal{L} = -m c^2 d\tau/dt = -m c^2 \sqrt{1 - v^2/c^2},$

де v — звичайна тривимірна швидкість частинки, c — швидкість світла, m — маса частинки.

За допомогою цієї фунції Лагранжа можна отримати рівняння класичної динаміки релятивістських частинок.

Теорія поля

В теорії поля розрізняють функцію Лагранжа $\mathcal{L}$, через яку дія виражається як інтеграл тільки по часу

$S = \int{\mathcal{L} \, dt}$

і густину функції Лагранжа $\Lambda$, яку потрібно інтегрувати по всьому чотиривимірному простору-часу:

$S [\varphi_i] = \int{\Lambda [\varphi_i (x)]\, d^4x}$.

Тоді функція Лагранжа — це інтеграл по просторових змінних від густини функції Лагранжа.

І те, й інше часто називають лагранжіаном, останнім часом переважно саме густину функції Лагранжа $\Lambda$. Це корисно в релятивістських теоріях, оскільки густина функції Лагранжа визначена локально.

Квантові теорії поля у фізиці елементарних частинок, такі як квантова електродинаміка, зазвичай описуються в термінах $\Lambda$. Ця форма зручна, оскільки легко переводиться в правила, що використовуються для оцінки діаграм Фейнмана.

Електромагнітний лагранжіан

Електростатика

Електростатика (фізика статичних — тобто повільнозмінних) електричних полів, які можна (приблизно або точно) описати скалярним потенціалом і зарядженої речовини, що досить повільно рухається і, таким чином, підкоряється Ньютонівській механіці, може бути в цілому описана практично в рамках класичної механіки.

В класичній механіці лагранжіан це

$\mathcal{L} = T - V$

де T — кінетична енергія і V — потенціальна енергія.

Для зарядженої частинки мосою m і зарядом q, що знаходиться в електричному (електростатичному) полі зі скалярним потенціалом φ, кінетична енергія задається виразом

$T_s = {1 \over 2} m \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}$ — для однієї частинки (для багатьох береться сума).

Енергія взаємодії поля з зарядженою речовиною має вигляд

$V = q\phi\$ для одного точкового заряду (для багатьох сумується),

або

$V = \int \rho\phi\ dx dy dz$ — вигляд для неперервного розподілу заряду.

(І той і інший вигляд корисно виписати окремо, хоча, звичайно, вони зводяться один до одного, якщо використовувати дельта-функцію). Енергія поля входить в член кінетичної енергії разом з кінетичною енергією частинок, записуючись як:

$T_f = \int {1 \over 2 \varkappa} (\nabla \phi)^2 dx dy dz,$

де $\varkappa$ — «силова константа», що входить в кінцевому варіанті в закон Кулона.

Таким чином, лагранжіан електростатики, що включає в себе і кінетичну енергію (повільного) руху зараджених чатинок, має такий вигляд:

$\mathcal{L} = T_f - V + T_s,$

(кожен його член виписаний нижче).

• Звичайно, цей лагранжіан може бути при необхідності доповнений іншими членами, що описують неелектричні сили, наприклад, енергією пружності і т.ін.

Проваріювавши дію з описаним в цьому параграфі лагранжіаном, легко отримати рівняння поля для електростатики (рівняння Пуассона):

$\nabla^2 \phi = - \varkappa \rho$

і рівняння руху частинки в електростатичному полі (що в цілому збігається з отриманим в прикладі для класичної частинки на початку статті):

$m \dot{\mathbf v} = - q \nabla \phi.$

Електродинаміка

Тривимірне формулювання

У випадку електродинаміки доводиться користуватися вже не класичною потенціальною енергією, а узагальненою (залежною також від швидкостей) потенціальною енергією (енергією взаємодії):

$V = q\phi - {q \over c} \mathbf{v} \cdot \mathbf{A}$

або

$V = \int (\rho\phi - {1 \over c} \mathbf{j} \cdot \mathbf{A}) dx dy dz$

де c — швидкість світла, v — швидкість частинки, j — вектор густини струму.

Енергія електромагнітного поля також повинна включати порівняно з випадком електростатики ще й енергію магнітного поля:

$T_f = \int \frac{1}{2\varkappa} (E^2 - H^2) dx dy dz,$

де E і H слідує вважати вираженими через електричний потенціал ф і векторний потенціал А:

$\mathbf E = -\nabla\phi - {1 \over c} \frac{\partial\mathbf A}{\partial t},~~~~~~~ \mathbf H = \mathbf{rot} \mathbf A$.

Тоді електромагнітний лагранжіан запишеться у вигляді

$L = T_f - q\phi + {q \over c} \mathbf{v} \cdot \mathbf{A} + T_s.$

або

$L = T_f + \int (-\rho\phi + {1 \over c} \mathbf j\ \cdot \mathbf{A}) dx dy dz + T_s.$

Тут в якості лагранжіану речовини $T_s$ можна використовувати наближений вираз для повільних частинок, як описано в параграфі про електростатику, а можна використовувати (так як для електродинаміки, необмеженої повільними рухами, це актуально) релятивістський лагранжіан для швидких частинок

$T_s = -m c^2 d\tau/dt = -m c^2 \sqrt{1-v^2}$.

Як і у випадку електростатики, при необхідності до цього лагранжіану можуть бути дописані додаткові члени, що описують неелектромагнітні сили, інші поля і т.д, що, загалом, виходить за рамки задачі опису електромагнітного лагранжіану. Строго кажучи, виписування кінетичної енергії речовини також виходить за ці рамки, однак ми його виписали, щоб опис зберігав цілісність.

При варіюванні дії з цим лагранжіаном по ф і по $A_x, A_y, A_z$ (незалежно по кожному, використовуючи другу форму запису лагранжіану), виходять рівняння Максвела, а при варіюванні по координатах заряджених частинок — використовуючи першу форму запису — рівняння руху заряджених частинок в полі, що зводиться до:

$d\mathbf p/d t = \mathbf F_L,$,

де p — (тривимірний) імпульс частинки, $\mathbf F_L$ — сила Лоренца (включаючи електричний член).

Однак простіше і швидше таке виведення виходить в чотиривимірному формулюванні (див.далі).

Чотиривимірне формулювання

В чотиривимірному формулюванні густина лагранжіану електромагнітного поля, його взаємодії з зарядженою речовиною і самої речовини виглядає так (використовуючи систему одиниць c=1):

$L = \frac{1}{4\varkappa} F_{ik}F^{ik} + A_i j^i + L_s.$

Другий член (що описує взаємодію) можна переписати так, що відповідна дія буде:

$S_{int} = - \int q A_i dx^i.$

(Член $L_s$ — звичайна густина лагранжіану швидкої — в загальному випадку — частинки; явно її можна не виписувати, оскільки для класичної теорії вона не потрібна, так як для неї потрібен лагранжіан такої частинки, виписаний як завжди — див. вище — а не його густина).

Тут c — швидкість світла, $F^{ik}$ — тензор електромагнітного поля (в лагранжіан входить його згортка — квадрат), $A_i$ — 4-потенціал, $j^i$ — чотиривимірна густина струму, $dx^i$ — 4-переміщення; мається на увазі нотація Ейнштейна сумування по повторюваному індексу.

Варіюванням по $A_i$ легко отримуються рівняння Максвела в чотиривимірній формі:

$\partial_i F^{ik} = \varkappa j^k$,

а варіюванням по $x^i$ — рівняння руху для частинки:

$d p_i/d\tau = q F_{ik}u^k,\$

де $p_i = m u_i$ — 4-імпульс, $u^k$ — 4-швидкість.

Лагранжіан квантової теорії поля

Лагранжіан квантової теорії поля в принципі збігається з класичним, за винятком випадків, коли для деякої частини польових змінних важко ввести класичні аналоги або їх коректно інтерпретувати; хоча, і тоді зазвичай можна, хоча б чисто формально, отримати те, що називається класичним рівнянням руху, використавши замість тієї або іншої процедури квантування поля з даним лагранжіаном наближення стаціонарної фази (стаціонарної дії) — тобто знайшовши класичне наближення опису системи.

Таким чином, лагранжіани, виписані нижче, не є у визначеному сенсі специфічними тільки для квантової теорії відповідних полів; тим не менше вони в квантовій теорії поля використовуються, будучи в деякому відношенні її основою.

Лагранжіан квантової електродинаміки

Густина лагранжіану для КЕД

$\mathcal{L} = \bar \psi (i \not \!\, D - m) \psi - {1 \over 4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}$

де ψ — біспінор, $\bar \psi = \psi^\dagger \gamma^0$ — його діраковське спряження, $\! F^{\mu\nu}$ — 4-тензор електромагнітного поля, D — калібрувальна коваріантна похідна, і $\not \!\, D$ — позначення Фейнмана для $\! \gamma^\sigma D_\sigma$.

Лагранжіан Дірака

Густина лагранжіану для діраковського поля

$\mathcal{L} = \bar \psi (i \not \! \; \partial - m) \psi$.

Лагранжіан квантової хромодинаміки

Густина лагранжіану для квантової хромодинаміки [1]

$\mathcal{L} = -{1\over 4} F^\alpha {}_{\mu\nu} F_\alpha {}^{\mu\nu} - \sum_n \bar \psi_n (\not\!\, D_\mu + m_n) \psi_n$

де $\! D_\mu$ — калібрувальна коваріантна похідна КХД, и $\! F^\alpha {}_{\mu\nu}$ — тензор напруженості глюонного поля.

Посилання

• Christoph Schiller (2005), Global descriptions of motion: the simplicity of complexity, Motion Mountain
• David Tong Classical Dynamics (Cambridge lecture notes)