Інтеграл Абеля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Інтеграл Абеля[1] — інтеграл від алгебричної функції вигляду:[2]

де  — будь-яка раціональна функція від змінних і , пов'язаних алгебричним рівнянням

з цілими раціональними за коефіцієнтами . Рівнянню (2) відповідає компактна ріманова поверхня , що у шарів покриває сферу Рімана, на якій , а відповідно, і , що розглядаються як функції точки поверхні , однозначні.

Нехай функція задається рівнянням

де правий поліном не має кратних коренів. У цьому випадку функція є еліптичним інтегралом. Вона визначена із точністю до де - пара комплексних чисел, - цілі. множина чисел типу утворює ґратку Таким чином, із еліптичним інтегралом пов'язаний тор

Рівняння задає на площині Якщо доповнити до проективного простору додавши нескінченно віддалену пряму і замкнувши її у отримаємо неособливу замкнену криву (тобто компактну ріманову поверхню), еліптичну криву, яка є ізоморфною Нехай маємо еліптичну функцію Вайєрштрасса:

Вона є мероморфною функцією із ґраткою періодів Її похідна і вона сама пов'язані рівнянням

для декотрих констант які залежать від гратки Таким чином, є мероморфним відображенням на компактифікацію кривої, заданої на комплексній площині. Проективні криві є ізоморфними.

Досліджуючи абелеві функції, Ріман зконструював поверхні (криві ) за допомогою розрізів та зклеювань на комплексній поверхні[3]. Нехай є простором голоморфних 1-форм на компактній рімановій поверхні із базисом Також нехай є базисом у просторі 1-гомологій на . Тоді

є періодами на . Вони утворюють матрицю періодів, яка залежить від вибору базисів у та Ці періоди дозволяють відтворити криву .


Примітки[ред. | ред. код]

  1. Походить від прізвища норвезького математика Нільса Абеля.
  2. Абелев интеграл // Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М. : Сов. энциклопедия, 1977. — Т. 1.
  3. де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия. - М., 1956. 

Джерела[ред. | ред. код]

  • Спрингер Дж. Глава 10 // Введение в теорию римановых поверхностей / Перевод с английского. — М., 1960.
  • Чеботарев Н. Г. Глава 8,9 // Теория алгебраических функций. — М. : Л, 1948.
  • Bliss G. A. Algebraic functions. — N. Y., 1966.