Інтеграл Абеля

Інтеграл Абеля — інтеграл від алгебричної функції вигляду:

$A=\int \limits _{z_{0}}^{z_{1}}R(z,w)dz~~~(1),$

де $R(z,w)$ — будь-яка раціональна функція від змінних $z$ і $w$, пов'язаних алгебричним рівнянням

$F(z,w)=a_{0}(z)w^{n}+a_{1}(z)w^{n-1}+\cdots +a_{n}(z)=0~~~(2).$

з цілими раціональними за $z$ коефіцієнтами $a_{j}(z),j=0,1,\cdots ,n$. Рівнянню (2) відповідає компактна ріманова поверхня $F$, що у $n$ шарів покриває сферу Рімана, на якій $z,w$, а відповідно, і $R(z,w)$, що розглядаються як функції точки поверхні $F$, однозначні.

Нехай функція $w$ задається рівнянням

$w^{2}=z^{3}+pz+q,$

де правий поліном не має кратних коренів. У цьому випадку функція $A_{w}$ є еліптичним інтегралом. Вона визначена із точністю до $mv_{1}+nv_{2},$ де $v_{1},v_{2}$ - пара комплексних чисел, $m,n$ - цілі. множина чисел типу $mv_{1}+nv_{2}$ утворює ґратку $\Gamma \subset \mathbb {C} .$ Таким чином, із еліптичним інтегралом пов'язаний тор $\mathbb {C} /\Gamma .$

Рівняння задає на площині $\mathbb {C} ^{2}=\{(z,w)\}.$ Якщо доповнити $\mathbb {C} ^{2}$ до проективного простору $\mathbb {P} ^{2}=\mathbb {P} ^{1}c,$ додавши нескінченно віддалену пряму і замкнувши її у $\mathbb {P} ^{2},$ отримаємо неособливу замкнену криву $E\subset \mathbb {P} ^{2}$ (тобто компактну ріманову поверхню), еліптичну криву, яка є ізоморфною $\mathbb {C} /\Gamma .$ Нехай маємо еліптичну функцію Вайєрштрасса:

$\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{w\in \Gamma \setminus \{0\}}\left[{\frac {1}{(z-w)^{2}}}-{\frac {1}{w^{2}}}\right].$

Вона є мероморфною функцією із ґраткою періодів $\Gamma .$ Її похідна і вона сама пов'язані рівнянням

$(\wp ')^{2}=4\wp ^{3}-g_{2}\wp -g_{3},$

для декотрих констант $g_{2},g_{3},$ які залежать від гратки $\Gamma .$ Таким чином, $z\rightarrow (\wp (z),\wp '(z))$ є мероморфним відображенням $\mathbb {C} /\Gamma$ на компактифікацію $E'\subset \mathbb {P} ^{2}$ кривої, заданої на комплексній площині. Проективні криві $E,\,\,E'$ є ізоморфними.

Досліджуючи абелеві функції, Ріман зконструював поверхні (криві $g$) за допомогою розрізів та зклеювань на комплексній поверхні. Нехай $H^{1,0}$є простором голоморфних 1-форм на компактній рімановій поверхні $X_{(g)}$ із базисом $\omega =(\omega _{1},...,\omega _{g}).$ Також нехай $\beta =(\beta _{1},...,\beta _{2g})$ є базисом у просторі 1-гомологій $H_{1}(X,\mathbb {Z} )\simeq \mathbb {Z} ^{2g}$ на $X$. Тоді

$\Omega _{ij}=\int _{\beta _{i}}\omega _{i}$

є періодами на $X$. Вони утворюють матрицю $\Omega ={\begin{vmatrix}\Omega _{ij}\end{vmatrix}}$ періодів, яка залежить від вибору базисів у $H_{1}(X,\mathbb {Z} )$ та $H^{1,0}.$ Ці періоди дозволяють відтворити криву $X$.

Джерела

• Спрингер Дж. Глава 10 // Введение в теорию римановых поверхностей / Перевод с английского. — М., 1960.
• Чеботарев Н. Г. Глава 8,9 // Теория алгебраических функций. — М. : Л, 1948.
• Bliss G. A. Algebraic functions. — N. Y., 1966.

Посилання

• Абеля інтеграл // Велика українська енциклопедія.