Еліптичні функції Вейєрштрасса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Еліптичні функції Вейєрштрасса — одні з найпростіших еліптичних функцій. Цей клас функцій названий на честь Карла Вейєрштрасса. Також їх називають -функціями Вейєрштрасса, і використовують для їх позначення символ (стилізоване P).

Визначення[ред.ред. код]

Нехай задана деяка ґратка в . Тоді -функцією Вейєрштрасса на ній називається мероморфна функція, задана як сума ряду

Можна побачити, що така функція буде -періодичною на , і тому є мероморфною функцією на .

Ряд, що задає функцію Вейерштрасса є, в певному значенні, «регуляризованою версією» розбіжного ряду, — «наївної» спроби задати -періодичну функцію. Цей ряд є абсолютно розбіжним (а за відсутності природного порядку на має сенс говорити тільки про абсолютну збіжність) при всіх z, оскільки при фіксованому z і при великих w модулі його членів поводяться як , а сума по двовимірних ґратках є розбіжною.

Варіанти визначення[ред.ред. код]

Задаючи ґратку її базисом , можна записати

Також, оскільки функція Вейерштрасса як функція трьох змінних однорідна , позначивши , має місце рівність:

Тому розглядають

Властивості[ред.ред. код]

  • Функція Вейєрштрасса парна мероморфна функція, з єдиним полюсом другого порядку в точці 0.
  • Скориставшись розкладом і посумувавши по , можна одержати розклад в точці функції Вейєрштрасса в ряд Лорана:

де   — ряди Ейзенштейна для ґратки  (відповідні непарні суми рівні нулю).

Проте, коефіцієнти при і часто записують в іншій, традиційній формі:

де і модулярні інваріанти ґратки :

Диференціальні і інтегральні рівняння[ред.ред. код]

Диференціальні рівняння[ред.ред. код]

З визначеними раніше позначеннями, ℘ функція задовольняє наступне диференціальне рівняння:

.

Інтегральні рівняння[ред.ред. код]

Еліптичні функції Вейєрштрасса можуть бути подані через обертання еліптичних інтегралів. Нехай

де g2 і g3 приймаються константами. Тоді

Додаткові властивості[ред.ред. код]

Для еліптичних функцій Вейєрштрасса виконується:

(або в більш симетричній формі

де ).

Також

і

якщо не є періодом.

Вираження довільних еліптичних функцій через функції Вейєрштрасса[ред.ред. код]

Будь-яка еліптична функція з періодами і може бути представлена у вигляді де h, gраціональні функції, — функція Вейєрштрасса з тими ж періодами що і у . Якщо при цьому є парною функцією, то її можна представити у вигляді , де h раціональна. Іншими словами поле еліптичних функцій з фундаментальними періодами і є скінченним розширенням поля комплексних чисел, з породжуючими елементами і .

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  1. K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
  2. Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6