Абсолютна збіжність

Абсолютна збіжність числових рядів

Визначення

Ряд $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ називають абсолютно збіжним числовим рядом, якщо збіжним є ряд $\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|$.

Властивості

• із збіжності ряду $\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|$ випливає збіжність ряду $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$.
• При дослідженні абсолютної збіжності ряду використовують ознаки збіжності рядів з невід'ємними членами.
• Якщо ряд $\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|$ є розбіжним, то для виявлення умовної збіжності числового ряду використовують тонші ознаки: ознака Лейбніца, ознака Абеля, ознака Діріхле.

Абсолютна збіжність невласних інтегралів першого роду

Визначення

Невласний інтеграл першого роду $\int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx$ називається абсолютно збіжним, якщо збіжним є інтеграл $\int \limits _{a}^{+\infty }|f(x)|dx$.

Властивості

• із збіжності інтеграла $\int \limits _{a}^{+\infty }|f(x)|dx$ випливає збіжність інтеграла $\int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx$.
• Для виявлення абсолютної збіжності невласного інтеграла першого роду використовують ознаки збіжності невласних інтегралів першого роду від невід'ємних функцій.
• Якщо інтеграл $\int \limits _{a}^{+\infty }|f(x)|dx$ є розбіжним, то для виявлення умовної збіжності невласного інтеграла першого роду можуть бути використані ознаки Абеля і Діріхле.

Абсолютна збіжність невласних інтегралів другого роду

Визначення

Хай $\ f(x)$ визначена і інтегрована на $[a;b-\varepsilon \ ]\quad \forall \varepsilon \ \in (0;b-a)$, необмежена в лівому околі точки $b$. Невласний інтеграл другого роду $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$ називається абсолютно збіжним, якщо збіжним є інтеграл $\int \limits _{a}^{b}|f(x)|dx$.

Властивості

• із збіжності інтеграла $\int \limits _{a}^{b}|f(x)|dx$ випливає збіжність інтеграла $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$.
• Для виявлення абсолютної збіжності невласного інтеграла другого роду використовують ознаки збіжності невласних інтегралів другого роду від невід'ємних функцій.
• Якщо інтеграл $\int \limits _{a}^{b}|f(x)|dx$ є розбіжним, то для виявлення умовної збіжності невласного інтеграла другого роду можуть бути використані ознаки Абеля і Діріхле.

Див. також

• Умовна збіжність
• Безумовна збіжність
• Теорема Данжуа — Лузіна

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2025. — 1600+ с.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)

Посилання

• Абсолютна сумовність [Архівовано 27 вересня 2020 у Wayback Machine.] // ВУЕ
• Абсолютно збіжний ряд [Архівовано 25 вересня 2020 у Wayback Machine.] // ВУЕ