Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Ознака Діріхле — в математиці одна із ознак збіжності ряду , названа на честь німецького математика Діріхле .
Нехай виконуються такі умови:
Послідовність
B
n
=
∑
k
=
1
n
b
k
{\displaystyle B_{n}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}}
∃
M
>
0
:
|
B
n
|
⩽
M
∀
n
∈
N
{\displaystyle \exists M>0:|B_{n}|\leqslant M\quad \forall n\in \mathbb {N} }
a
n
⩾
a
n
+
1
∀
n
∈
N
{\displaystyle a_{n}\geqslant a_{n+1}\quad \forall n\in \mathbb {N} }
lim
n
→
∞
a
n
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}
Тоді ряд
∑
n
=
1
∞
a
n
b
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}
Із збіжності
a
n
{\displaystyle a_{n}}
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
N
∈
N
,
{\displaystyle N\in \mathbb {N} ,}
a
n
<
ε
{\displaystyle a_{n}<\varepsilon }
n
>
N
{\displaystyle n>N}
Також:
∑
k
=
1
n
a
k
b
k
=
∑
k
=
1
n
a
k
(
B
k
−
B
k
−
1
)
=
∑
k
=
1
n
−
1
B
k
(
a
k
−
a
k
+
1
)
+
a
n
B
n
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}(B_{k}-B_{k-1})=\sum _{k=1}^{n-1}B_{k}(a_{k}-a_{k+1})+a_{n}B_{n}}
Оскільки
a
n
⩾
a
n
+
1
∀
n
∈
N
{\displaystyle a_{n}\geqslant a_{n+1}\quad \forall n\in \mathbb {N} }
|
∑
k
=
1
n
−
1
B
k
(
a
k
−
a
k
+
1
)
|
⩽
∑
k
=
1
n
−
1
|
B
k
|
(
a
k
−
a
k
+
1
)
⩽
M
∑
k
=
1
n
−
1
(
a
k
−
a
k
+
1
)
=
M
(
a
1
−
a
n
)
{\displaystyle \left|\sum _{k=1}^{n-1}B_{k}(a_{k}-a_{k+1})\right|\leqslant \sum _{k=1}^{n-1}|B_{k}|(a_{k}-a_{k+1})\leqslant M\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k}-a_{k+1})=M(a_{1}-a_{n})}
Відповідно ряд
∑
k
=
1
∞
B
k
(
a
k
−
a
k
+
1
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }B_{k}(a_{k}-a_{k+1})}
абсолютно збіжним і ряд
∑
n
=
1
∞
a
n
b
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}
a
n
B
n
{\displaystyle a_{n}B_{n}}
Нехай
a
n
⩾
a
n
+
1
∀
n
∈
N
{\displaystyle a_{n}\geqslant a_{n+1}\quad \forall n\in \mathbb {N} }
lim
n
→
∞
a
n
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}
b
i
=
(
−
1
)
i
−
1
{\displaystyle b_{i}=(-1)^{i-1}}
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
a
n
=
a
0
−
a
1
+
a
2
−
a
3
+
⋯
{\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\cdots }
теорема Лейбніца про збіжність знакозмінних рядів є наслідком теореми Діріхле.
Якщо
a
n
{\displaystyle a_{n}}
монотонно спадною і
lim
n
→
∞
a
n
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}
b
j
=
cos
j
x
{\displaystyle b_{j}=\cos jx}
b
j
=
sin
j
x
{\displaystyle b_{j}=\sin jx}
x
≠
2
π
m
,
m
∈
Z
.
{\displaystyle x\neq 2\pi m,\,m\in \mathbb {Z} .}
елементарних тригонометричних тотожностей :
2
sin
j
x
sin
1
2
x
=
cos
(
j
−
1
2
)
x
−
cos
(
j
+
1
2
)
x
{\displaystyle 2\sin jx\sin {1 \over 2}x=\cos \left(j-{1 \over 2}\right)x-\cos \left(j+{1 \over 2}\right)x}
2
cos
j
x
sin
1
2
x
=
sin
(
j
+
1
2
)
x
−
sin
(
j
−
1
2
)
x
{\displaystyle 2\cos jx\sin {1 \over 2}x=\sin \left(j+{1 \over 2}\right)x-\sin \left(j-{1 \over 2}\right)x}
Таким чином:
∑
j
=
1
n
cos
j
x
=
cos
1
2
x
−
cos
3
2
x
+
cos
3
2
x
−
cos
5
2
x
+
…
−
cos
(
n
+
1
2
)
x
2
sin
1
2
x
=
cos
1
2
x
−
cos
(
n
+
1
2
)
x
2
sin
1
2
x
{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\cos jx={\frac {\cos {\frac {1}{2}}x-\cos {\frac {3}{2}}x+\cos {\frac {3}{2}}x-\cos {\frac {5}{2}}x+\ldots -\cos \left(n+{\frac {1}{2}}\right)x}{2\sin {\frac {1}{2}}x}}={\frac {\cos {\frac {1}{2}}x-\cos \left(n+{\frac {1}{2}}\right)x}{2\sin {\frac {1}{2}}x}}}
∑
j
=
1
n
sin
j
x
=
−
sin
1
2
x
+
sin
3
2
x
−
sin
3
2
x
+
sin
5
2
x
−
…
+
sin
(
n
+
1
2
)
x
2
sin
1
2
x
=
−
sin
1
2
x
+
sin
(
n
+
1
2
)
x
2
sin
1
2
x
{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\sin jx={\frac {-\sin {\frac {1}{2}}x+\sin {\frac {3}{2}}x-\sin {\frac {3}{2}}x+\sin {\frac {5}{2}}x-\ldots +\sin \left(n+{\frac {1}{2}}\right)x}{2\sin {\frac {1}{2}}x}}={\frac {-\sin {\frac {1}{2}}x+\sin \left(n+{\frac {1}{2}}\right)x}{2\sin {\frac {1}{2}}x}}}
Із цих формул одержується, що всі суми
∑
j
=
1
n
cos
j
x
{\textstyle \sum _{j=1}^{n}\cos jx}
∑
j
=
1
n
sin
j
x
{\textstyle \sum _{j=1}^{n}\sin jx}
1
|
sin
x
2
|
.
{\displaystyle {\frac {1}{\left|\sin {\frac {x}{2}}\right|}}.}
Відповідно згідно ознаки Діріхле ряди
∑
j
=
1
∞
a
j
cos
j
x
{\textstyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\cos jx}
∑
j
=
1
∞
a
j
sin
j
x
{\textstyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\sin jx}
Конкретними прикладами таких рядів є
∑
j
=
1
∞
cos
j
x
j
{\textstyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {\cos jx}{j}}}
∑
j
=
1
∞
sin
j
x
j
.
{\textstyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {\sin jx}{j}}.}
z
{\displaystyle z}
|
z
|
=
1
{\displaystyle |z|=1}
z
=
cos
x
+
sin
x
⋅
i
{\displaystyle z=\cos x+\sin x\cdot i}
z
j
=
cos
j
x
+
sin
j
x
⋅
i
{\displaystyle z^{j}=\cos jx+\sin jx\cdot i}
∑
j
=
1
∞
z
j
j
{\textstyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {z^{j}}{j}}}
|
z
|
=
1
{\displaystyle |z|=1}
z
≠
1.
{\displaystyle z\neq 1.}
Нехай виконуються умови:
f
(
x
)
∈
C
[
a
,
+
∞
]
{\displaystyle f(x)\in C[a,\;+\infty ]}
[
a
,
+
∞
]
{\displaystyle [a,\;+\infty ]}
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
∃
M
>
0
:
|
F
(
x
)
|
⩽
M
∀
x
>
a
{\displaystyle \exists M>0:\quad |F(x)|\leqslant M\quad \forall x>a}
функція
g
(
x
)
∈
C
1
[
a
,
+
∞
]
,
g
(
x
)
>
0
,
g
′
(
x
)
⩽
0
∀
x
>
a
{\displaystyle g(x)\in C^{1}[a,\;+\infty ],\quad g(x)>0,\quad g'(x)\leqslant 0\quad \forall x>a}
lim
x
→
+
∞
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }g(x)=0}
Тоді
∫
a
+
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)g(x)\,dx}
Очевидно, також можна було визначити такі умови
g
(
x
)
∈
C
1
[
a
,
+
∞
]
,
g
(
x
)
<
0
,
g
′
(
x
)
⩾
0
∀
x
>
a
{\displaystyle g(x)\in C^{1}[a,\;+\infty ],\quad g(x)<0,\quad g'(x)\geqslant 0\quad \forall x>a}
Умова монотонності в ознаці Діріхле є суттєвою.
∫
1
+
∞
sin
x
x
+
sin
x
d
x
=
∞
.
{\displaystyle \int \limits _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{{\sqrt {x}}+\sin x}}\,dx=\infty .}
Проте ця умова не є необхідною:
∫
2
+
∞
sin
x
x
+
2
sin
x
d
x
{\displaystyle \int \limits _{2}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x+2\sin x}}\,dx}
![{\displaystyle f(x)\in C[a,\;+\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/949d61382d83cc1d146ff1d5a8e7866c0a0c8ccd)
![{\displaystyle [a,\;+\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a95319662d9ef3521303604ba33d2266e520c88)
![{\displaystyle g(x)\in C^{1}[a,\;+\infty ],\quad g(x)>0,\quad g'(x)\leqslant 0\quad \forall x>a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b6cd1f19f5482482fb350d3d1ec3b1404365d33)
![{\displaystyle g(x)\in C^{1}[a,\;+\infty ],\quad g(x)<0,\quad g'(x)\geqslant 0\quad \forall x>a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3f919adddc464022e3328bb88db793bee53489d)
