Теорема Лейбніца про збіжність знакозмінних рядів

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Лейбніца  — теорема, що дає достатні умови збіжності ряду в якому знаки біля послідовних елементів чергуються.

Твердження[ред.ред. код]

Нехай для послідовності дійсних чисел виконуються умови:

Тоді знакозмінний ряд: збігається.

Доведення[ред.ред. код]

Запишемо часткову суму парного порядку так:

Оскільки всі доданки в дужках більші нуля, то послідовність є зростаючою. З іншого боку можна записати:

тобто .

Отже послідовність парних часткових сум є обмеженою і зростаючою, а значить збіжною. Для непарних часткових сум маємо: і оскільки збігається до нуля, границя існує і рівна границі . Дане число і буде сумою ряду.

Наслідок[ред.ред. код]

З теорем Лейбніца можна оцінити погрішність обчислення суми ряду:

Залишок ряду за модулем буде менше першого відкинутого доданку:

Література[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.