Теорема Лейбніца про збіжність знакозмінних рядів

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У математичному аналізі ознака Лейбніца — це метод, який використовується для доведення того, що знакопереміжні ряди зі спадаючими членами за абсолютним значенням є збіжними рядами[en]. Ознака використовувалася Готфрідом Лейбніцем і також відома як ознака Лейбніца, правило Лейбніца або критерій Лейбніца.

Теорема Лейбніца  — теорема, що дає достатні умови збіжності ряду в якому знаки біля послідовних елементів чергуються.

Твердження[ред. | ред. код]

Ряд вигляду

де усі елементи або додатні або від'ємні, називається знакопереміжним рядом.

Ознака Лейбніца: якщо послідовність спадає монотонно[1] і , тобто:

то знакопереміжний ряд є збіжним.

Доведення[ред. | ред. код]

Нехай задано ряд вигляду , де і для усіх . (Випадок випливає з цього доведення, якщо вибрати від'ємні члени.)[1]

Доведення збіжності[ред. | ред. код]

Доведемо, що обидві часткові суми з непарною кількістю елементів та з парною кількістю, збігаються до одного і того ж значення . Тоді звичайна часткова сума також збігається до .

Непарні часткові суми спадають монотонно

у той час як парні часткові суми зростають монотонно

Обидва випадки виконуються тому, що значення зменшується монотонно із збільшенням .

Запишемо часткову суму парного порядку так:

Оскільки всі доданки в дужках більші нуля, то послідовність є зростаючою. З іншого боку можна записати:

тобто .


Запишемо часткову суму парного порядку так:

Оскільки всі доданки в дужках більші нуля, то послідовність є зростаючою. З іншого боку можна записати:

тобто .

Отже, послідовність парних часткових сум є обмеженою і зростаючою, а значить збіжною. Для непарних часткових сум маємо: і оскільки збігається до нуля, границя існує і рівна границі . Дане число і буде сумою ряду.

Крім того, оскільки — додатні, то . Таким чином, використовуючи ці факти, можемо сформулювати наступну послідовність нерівностей

Зауважимо, що число є нижньою межею монотонно спадаючої послідовності . Тоді з теореми Леві про монотонну збіжність випливає, що ця послідовність є збіжною при прямуванні до нескінченності. Збіжність послідовність парних часткових суми доводиться аналогічно.

Отже, вони збігаються до того ж числа, оскільки

Позначимо границю як , тоді теорема про монотонну збіжність додатково дає нам, що

для будь-якого . Це означає, що часткові суми знакопереміжного ряду також ``чергуються вище і нижче фінальної границі. Точніше, коли є непарна (парна) кількість членів, тобто останній член є додатнім (від'ємним), тоді часткова сума знаходиться вище (нижче) кінцевої границі.

Це розуміння негайно приводить до оцінки залишку часткових сум як показано нижче.

Доведення для оцінки залишку часткових сум[ред. | ред. код]

Покажемо, що , розглянувши два випадки.

Якщо , тобто непарне, то

Якщо , тобто парне, то

Обидва випадки суттєво використовують останню нерівність, яку було отримано в попередньому доведенні.

Для альтернативного доведення використовують ознаку збіжності Коші, дивись знакопереміжний ряд.

Для узагальнення дивися ознаку Діріхле.

Наслідок[ред. | ред. код]

З теорем Лейбніца можна оцінити похибку обчислення суми ряду:

Залишок ряду за модулем буде менше першого відкинутого доданку:

Контрприклад[ред. | ред. код]

Усі умови ознаки, а саме збіжність до і монотонність, мають виконуватися для того, щоб висновок був справедливим. Наприклад, розглянемо ряд

Знаки чергуються, а елементи прямують до нуля. Однак монотонність відсутня, що не дозволяє застосувати ознаку. Насправді ряд є розбіжним. Дійсно, для часткових сум маємо , що є подвоєною частковою сумою гармонічного ряду, який є розбіжним. Таким чином, початковий ряд є розбіжним. Що й треба було довести.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

 На практиці перші декілька членів можуть зростати. Важливо те, що для усіх , починаючи з деякого номера.[2]

Література[ред. | ред. код]

  1. Доведення базується на роботі James Stewart (2012) “Calculus: Early Transcendentals, Seventh Edition” pp. 727–730. ISBN 0-538-49790-4
  2. Dawkins, Paul. Calculus II - Alternating Series Test. Paul's Online Math Notes. Lamar University. Процитовано 1 November 2019. 

Посилання[ред. | ред. код]

Зовнішні посилання[ред. | ред. код]