Теорема Лейбніца про збіжність знакозмінних рядів

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Лейбніца  - теорема, що дає достатні умови збіжності ряду в якому знаки біля послідовних елементів чергуються.


Твердження[ред.ред. код]

Нехай для послідовності (a_i), i \in N дійсних чисел виконуються умови:

  1. 0 < a_{i+1} < a_i;
  2. \lim_{i \to \infty}a_i = 0.

Тоді знакозмінний ряд: S = \sum_{i=1}^\infty (-1)^{i-1}a_i збігається.

Доведення[ред.ред. код]

Запишемо часткову суму парного порядку так:

S_{2N}=\sum_{n=1}^{2N}(-1)^{n-1} a_n = \left(a_1 - a_2\right) + \left(a_3 - a_4\right)+\ldots + \left(a_{2N-1} - a_{2N}\right)\,

Оскільки всі доданки в дужках більші нуля, то послідовність S_{2N} є зростаючою. З іншого боку можна записати:

S_{2N}= a_1-\left(a_2 - a_3\right) - \left(a_4 - a_5\right)+\ldots + \left(a_{2N-2} - a_{2N-1}\right)-a_{2N}\, тобто S_{2N} < a_1.

Отже послідовність парних часткових сум є обмеженою і зростаючою, а значить збіжною. Для непарних часткових сум маємо: S_{2N-1}=S_{2N} + a_{2N} і оскільки a_{2N} збігається до нуля, границя S_{2N-1} існує і рівна границі S_{2N}. Дане число і буде сумою ряду.

Наслідок[ред.ред. код]

З теорем Лейбніца можна оцінити погрішність обчислення суми ряду:

S_n = \sum_{i=0}^n a_i.

Залишок ряду R_n = S - S_n за модулем буде менше першого відкинутого доданку:

\left| R_n \right| < \left| a_{n+1} \right|.

Література[ред.ред. код]

  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.Том 2. — Изд. 6-е, стереотипное. — М.: Наука, 1966.