Відстань Гаусдорфа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Відстань Гаусдорфа — відстань, визначена на всіх замкнених обмежених підмножинах метричного простору. Таким чином, відстань Гаусдорфа перетворює множину всіх непорожніх компактних підмножин метричного простору в метричний простір.

Мабуть, перша згадка цієї відстані міститься в книзі Гаусдорфа «Теорія множин», перше видання 1914 року. Двома роками пізніше, та ж відстань описується в книзі Бляшке «Круг і куля», можливо незалежно, тому що не містить посилання на книгу Гаусдорфа.

Означення[ред.ред. код]

Складові обчислення відстані Гаусдорфа між зеленою лінією X і голубою лінією Y

Нехай і дві замкнені обмежені підмножини метричного простору тоді відстань за Гаусдорфом, , між та є мінімальне число таке, що замкнутий -окіл містить і також замкнутий -окіл містить .

Іншими словами, якщо позначає відстань між точками та в , то

Властивості[ред.ред. код]

Нехай позначає множину всіх непорожніх компактних підмножин метричного простору з відстанню Гаусдорфа:

  • Топологія простору повністю визначається топологією .
  • (Теорема Бляшке) компактно тоді і тільки тоді, коли компактно .
  • повно тоді і тільки тоді, коли повне.

Варіації і узагальнення[ред.ред. код]

  • Іноді відстань Гаусдорфа розглядається на множині всіх замкнутих підмножин метричного простору, в цьому випадку відстань між деякими підмножинами може дорівнювати нескінченності.
  • Іноді відстань Гаусдорфа розглядається на множині всіх підмножин метричного простору. У цьому випадку вона є тільки псевдовідстанню і не є відстанню, так як «відстань» між різними підмножинами може дорівнювати нулю.
  • В евклідовій геометрії, часто застосовується відстань Гаусдорфа з точністю до конгруентності. Нехай та дві компактні підмножини евклідового простору, тоді визначається як мінімум за всіма рухами евклідового простору . Строго кажучи, ця відстань на просторі класів конгруентності компактних підмножин евклідового простору.
  • Відстань Громова-Гаусдорфа аналогічна відстані Гаусдорфа з точністю до конгруентності. Вона перетворює множину (ізометричних класів) компактних метричних просторів в метричний простір.


Посилання[ред.ред. код]