Детермінований хаос

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Детерміно́ваний хао́с — хаотична поведінка детерміністичної системи, яка проявляється через надзвичайно високу чутливість до початкових умов. Явище детермінованого хаосу неодоразово спостерігалося як в лабораторних умовах (в плазмі, електричних колах, лазерах, хімічних реакціях, рідинах, в низці механічних пристроїв) так і в природі (динаміка зростання популяцій та метеорологічні явища). Першими дослідниками хаосу були французькі математики Анрі Пуанкаре та Жак Адамар. Термін «хаос» увів в обіг американський математик Джеймс Йорк в 1975 році.

Визначення[ред. | ред. код]

Еволюція детерміністичної системи характеризується тим, що для будь-якого початкового стану системи в момент часу однозначно визначений стан в момент часу . Якщо характеризувати систему певним набором змінних , то математично еволюцію системи можна записати

,

де  — оператор еволюції.

Проте, детермінованість еволюції не означає її стійкості. Якщо розглянути два початкові стани i , які дуже близькі один до одного, то стани і не обов'язково будуть близькими.

Детермінований хаос виникає тоді, коли результати еволюції, що починаються із нескінченно малого околу певної початкової точки, покривають скінченну область у фазовому просторі, тобто коли незначне відхилення у початкових умовах призводить до значного відхилення в кінцевій точці.

Найпростішою неперервною системою, в якій спостерігається детермінований хаос, є дивний атрактор Лоренца.

Біфуркаційна діаграма для відображення повернення, що демонструє наростання хаотичної поведінки із зміною параметру.

У системах, що описуються нелінійними диференційними рівняннями, обов'язкою умовою існування детермінованого хаосу є вимога того, щоб система описувалася принаймні трьома динамічними змінними. У двовимірному випадку неможливо побудувати фазовий портрет системи, в якому фазові траєкторії не перетиналися б (вимога детермінізму) й існував хаос. У системах із дискретним часом такої вимоги не існує. Наприклад, хаос виникає в одновимірній задачі про відображення повернення, яка визначається рівнянням:

.

Історія[ред. | ред. код]

В основу теорії хаосу лягли, серед інших, роботи Анрі Пуанкаре, Едварда Лоренца, Бенуа Мандельброта, Бориса Чирікова, Якова Синая та Мітчела Файгенбаума.

Першовідкривачем хаосу вважають Анрі Пуанкаре[1]. Під час дослідження задачі трьох тіл він встановив існування траєкторій, які не є періодичніми, не зростають безмежно і не прямують до якоїсь фіксованої точки. В 1898 році Жак Адамар показав[2], що динаміка частинки, що котиться без тертя вздовж поверхні з негативною кривизною є хаотичною, тобто всі траєкторії частинки є нестійкими і екпоненційно розбігаються з плином часу. Детальніше див. Більярд Адамара

Розвиток теорії детермінованого хаосу значно прискорився після винаходу комп'ютерів. В 1963 американський фізик Едвард Лоренц опублікував[3] свої чисельні дослідження термічної конвекції в яких спостерігалася надзвичайна чутливість системи до початкових умов.

Хаотична динаміка[ред. | ред. код]

Гамільтонівський хаос[ред. | ред. код]

Хаос в дисипативних системах[ред. | ред. код]

Турбулентність[ред. | ред. код]

Квантовий хаос[ред. | ред. код]

Значимість та застосування[ред. | ред. код]

Існування детермінованого хаосу накладає обмеження на можливість моделювання складних процесів, наприклад, метеорологічних. Довготермінове прогнозування погоди стає неможливим не тому, що математичні моделі, які при цьому використовуються, обмежені, а тому, що найменша похибка в зібраних даних із необхідністю призводить до зовсім неправильного результату.

Див. також[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]

  1. ^ Jules Henri Poincaré (1890) "Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique. Divergence des séries de M. Lindstedt, " Acta Mathematica, vol. 13, pages 1-270.
  2. Jacques Hadamard (1898) "Les surfaces à courbures opposées et leurs lignes géodesiques, " Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, vol. 4, pages 27-73.
  3. Lorenz, E. N. Deterministic nonperiodic flow // J. Atmos. Sci.. — 1963. — Т. 20. — С. 130–141. — DOI:10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2.

Література[ред. | ред. код]

  • Сугаков В. Й. Основи синерґетики. — К. : Обереги, 2001. — 287 с.
  • Глосарій термінів з хімії // Й.Опейда, О.Швайка. Ін-т фізико-органічної хімії та вуглехімії ім. Л.М.Литвиненка НАН України, Донецький національний університет — Донецьк: «Вебер», 2008. — 758 с. — ISBN 978-966-335-206-0
  • Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. — М. : Мир, 1984. — 528 с.
  • Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. — М. : Мир, 1988. — 248 с.
  • Ott E. Chaos in Dynamical Systems. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0-521-01084-5.