Задача трьох тіл

Приблизні траєкторії трьох ідентичних тіл, розташованих у вершинах рівнобічного трикутника, якби вони не мали жодної початкової швидкості

Зада́ча трьох тіл — класична задача небесної механіки, у якій потрібно знайти траєкторії трьох тіл, що притягуються за законом всесвітнього тяжіння. Окремий випадок задачі N тіл.

Формулювання

Уперше сформульована Ісааком Ньютоном 1687 року в «Математичних началах натуральної філософії» (лат. Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica) як задача про рух Місяця в гравітаційному полі Сонця та Землі. Класичного вигляду набула в працях французького математика Жана д'Аламбера (фр. Problème des Trois Corps) 1747 року.

У загальнішому випадку йдеться про будь-які три об'єкти, що перебувають у центральному потенціальному полі одне одного (гравітаційному, електромагнітному тощо).

Формалізація

Рух трьох матеріальних точок у тривимірному просторі під впливом гравітаційного поля.

У будь-який момент часу рух трьох матеріальних точок із масами $m_{1},m_{2},m_{3}$ та координатами $\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {x_{2}} ,\mathbf {x_{3}} \in \mathbb {R} ^{3}$ задовольняє системі звичайних диференціальних рівнянь другого порядку:

${{\ddot {\mathbf {x} }}_{\mathbf {1} }}=-{\frac {Gm_{2}}{|\mathbf {x_{1}} -\mathbf {x_{2}} |^{3}}}\left(\mathbf {x_{1}} -\mathbf {x_{2}} \right)-{\frac {Gm_{3}}{|\mathbf {x_{1}} -\mathbf {x_{3}} |^{3}}}\left(\mathbf {x_{1}} -\mathbf {x_{3}} \right),$

${{\ddot {\mathbf {x} }}_{\mathbf {2} }}=-{\frac {Gm_{3}}{|\mathbf {x_{2}} -\mathbf {x_{3}} |^{3}}}\left(\mathbf {x_{2}} -\mathbf {x_{3}} \right)-{\frac {Gm_{1}}{|\mathbf {x_{2}} -\mathbf {x_{1}} |^{3}}}\left(\mathbf {x_{2}} -\mathbf {x_{1}} \right),$

${{\ddot {\mathbf {x} }}_{\mathbf {3} }}=-{\frac {Gm_{1}}{|\mathbf {x_{3}} -\mathbf {x_{1}} |^{3}}}\left(\mathbf {x_{3}} -\mathbf {x_{1}} \right)-{\frac {Gm_{2}}{|\mathbf {x_{3}} -\mathbf {x_{2}} |^{3}}}\left(\mathbf {x_{3}} -\mathbf {x_{2}} \right),$

де $G$ — гравітаційна стала. Задача полягає в віднаходженні координат трьох матеріальних точок із відомими початковими масами, координатами та швидкостями в будь-який момент часу.

Історія розв'язання

У загальному випадку точного розв'язку за допомогою інтегралів не існує. Проблема полягає в принциповій неможливості розв'язати диференціальне рівняння 6-го порядку з нерозділеними змінними.

Для окремих випадків знайдено точний розв'язок: Леонардом Ейлером (для колінеарного розташування точок) та Жозефом-Луї Лагранжем (для так званих трикутних точок Лагранжа).

1912 року фінський математик Карл Зундман знайшов аналітичний розв'язок загальної задачі у вигляді збіжного ряду. Але цей розв'язок не є практичним, адже ряд збігається надзвичайно повільно (для застосування в астрономії необхідно обчислити більше $10^{8\,000\,000}$ членів ряду).

Моделюванням задачі за допомогою чисельних методів знайдено деякі інші часткові розв'язки.

Див. також

• Задача двох тіл
• Гравітаційна задача N тіл
• Гравітаційний маневр

Література

• Ю. В. Александров. Небесна Механіка [Архівовано 4 березня 2016 у Wayback Machine.] (Глава VI), Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна, 2003.
• Іро Г. Класична механіка. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 1999. — 464 с.
• Juhan Frank. Three Body Problem [Архівовано 26 січня 2019 у Wayback Machine.], PHYS 7221, Louisiana State University, 2006. (англ.)
• June Barrow-Green (1997). Poincaré and the Three Body Problem (English). American Mathematical Society. ISBN 978-0821803677. 
• Mauri Valtonen; Hannu Karttunen (2006). The Three Body Problem (English). Cambridge University Press. ISBN 978-0521852241. 
• Christian Marchal (1990). The Three-Body Problem. Studies in Astronautics (English). Elsevier Science. ISBN 978-0444874405. 
• Florin Diacu (1996). The solution of the n-body Problem. The Mathematical Intelligencer (English) 18 (3): 249–272. Архів оригіналу за 4 березня 2016. Процитовано 4 грудня 2015. 

Посилання

• Alain Chenciner, Three body problem [Архівовано 4 листопада 2016 у Wayback Machine.], Scholarpedia. (англ.)
• Shannon Pauls, 5 Gifs of n-body Orbits (Animation) [Архівовано 27 жовтня 2016 у Wayback Machine.], Scientific American, 30/07/2013. (англ.)
• Florin Diacu (1996). The solution of the n-body Problem. The Mathematical Intelligencer (English) 18 (3): 249–272. Архів оригіналу за 4 березня 2016. Процитовано 4 грудня 2015. 
• Science Magazine. Physicists Discover a Whopping 13 New Solutions to Three-Body Problem [Архівовано 5 січня 2016 у Wayback Machine.]. (англ.)