Задача трьох тіл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Зада́ча трьох тіл — класична задача небесної механіки. Окремий випадок задачі n тіл. Вперше сформульована Ісааком Ньютоном 1687 року в «Математичних началах натуральної філософії» (лат. Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica) як задача про рух Місяця в гравітаційному полі Сонця та Землі. Класичного вигляду набула в працях французького математика Жана д'Аламбера (фр. Problème des Trois Corps) 1747 року.

Формулювання[ред.ред. код]

Рух трьох матеріальних точок у трьохвимірному просторі під впливом гравітаційного поля.

У будь який момент часу рух трьох матеріальних точок з масами та координатами задовольняє системі звичайних диференціальних рівнянь другого порядку:

де гравітаційна стала. Задача полягає в знаходженні координат трьох матеріальних точок з відомими початковими масами, координатами та швидкостями в будь-який момент часу. У загальнішому випадку йдеться про будь-які три об'єкти, що перебувають у центральному потенціальному полі одне одного (гравітаційному, електромагнітному, тощо).

Історія розв'язання[ред.ред. код]

У загальному випадку точного розв'язку за допомогою інтегралів не існує[1][2]. Проблема полягає в принциповій неможливості розв'язати диференційне рівняння 6-го порядку з нерозділеними змінними. Для окремих випадків знайдено точний розв'язок: Леонардом Ейлером (для колінеарного розташування точок) та Жозефом-Луї Лагранжем (для так званих трикутних точок Лагранжа).

1912 року фінський математик Карл Зундман знайшов аналітичний розв'язок у виді збіжного ряду[3]. Але цей розв'язок не є практичним, адже ряд збігається надзвичайно повільно (для застосування в астрономії необхідно обчислити більше членів ряду[4]).[1]

На практиці задача вирішується ітераційно.

Література[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. а б Florin Diacu (1996). The solution of the n-body Problem. The Mathematical Intelligencer 18 (3). с. 249–272.  (англ.)
  2. Пуанкаре А. Избранные труды в трёх томах. М.: Наука, 1971—1972. — Т. 2. — С. 748.
  3. K. Sundman (1912). Mémoire sur le problème des trois corps. Acta Mathematica 36. с. 105–179. doi:10.1007/BF02422379. 
  4. D. Beloriszky (1930). Application pratique des méthodes de M. Sundman à un cas particulier du problème des trois corps. Bulletin Astronomique. 2 6. с. 417–434. 

Посилання[ред.ред. код]


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.