Задача трьох тіл

Зада́ча трьох тіл — класична задача небесної механіки, у якій потрібно знайти траєкторії трьох тіл, що притягуються за законом всесвітнього тяжіння. Окремий випадок задачі N тіл.
Уперше задачу трьох тіл сформулював Ісаак Ньютон 1687 року в «Математичних началах натуральної філософії» (лат. Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica) як задачу про рух Місяця в гравітаційному полі Сонця й Землі. Класичного вигляду задача набула в працях французького математика Жана д'Аламбера (фр. Problème des Trois Corps) 1747 року.
У загальнішому випадку йдеться про будь-які три об'єкти, що перебувають у центральному потенціальному полі одне одного (гравітаційному, електромагнітному тощо).

У будь-який момент часу рух трьох матеріальних точок з масами та координатами задовольняє системі звичайних диференціальних рівнянь другого порядку:
- ,
- ,
- ,
де — гравітаційна стала. Задача полягає у віднаходженні координат трьох матеріальних точок з відомими початковими масами, координатами й швидкостями в будь-який момент часу.
У загальному випадку точного розв'язку за допомогою інтегралів не існує[1][2]. Проблема полягає в принциповій неможливості розв'язати диференціальне рівняння 6-го порядку з нерозділеними змінними.
Для окремих випадків знайдено точний розв'язок: Леонардом Ейлером (для колінеарного розташування точок) та Жозефом-Луї Лагранжем (для так званих трикутних точок Лагранжа).
1912 року фінський математик Карл Зундман знайшов аналітичний розв'язок загальної задачі у вигляді збіжного ряду[3]. Однак цей розв'язок непрактичний, оскільки ряд збігається надзвичайно повільно (для застосування в астрономії необхідно обчислити понад 108 000 000 членів ряду[4])[1].
Моделюванням задачі за допомогою чисельних методів знайдено деякі інші часткові розв'язки[5][6].
- ↑ а б Florin Diacu (1996). The solution of the n-body Problem (PDF). The Mathematical Intelligencer. 18 (3): 249—272. Архів оригіналу (PDF) за 4 березня 2016. Процитовано 4 грудня 2015. (англ.)
- ↑ Poincaré, H. (1967). New Methods of Celestial Mechanics, 3 vols (English trans.) . American Institute of Physics. ISBN 1-56396-117-2.
- ↑ K. Sundman (1912). Mémoire sur le problème des trois corps. Acta Mathematica. 36: 105—179. doi:10.1007/BF02422379. (фр.)
- ↑ D. Beloriszky (1930). Application pratique des méthodes de M. Sundman à un cas particulier du problème des trois corps. Bulletin Astronomique. 2. 6: 417—434. Архів оригіналу за 22 грудня 2015. Процитовано 17 грудня 2015. (фр.)
- ↑ Hénon M. (1976). Celestial Mechanics. 13: 267. doi:10.1007/BF01228647.
{{cite journal}}
: Пропущений або порожній|title=
(довідка) - ↑ Дмитрий Трунин (12 Окт. 2017 17:39). В задаче трех тел обнаружили более шестисот периодических траекторий. N+1. Архів оригіналу за 7 листопада 2018. Процитовано 6 листопада 2018.
- Ю. В. Александров. Небесна Механіка [Архівовано 4 березня 2016 у Wayback Machine.] (Глава VI), Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна, 2003.
- Іро Г. Класична механіка. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 1999. — 464 с.
- Juhan Frank. Three Body Problem [Архівовано 26 січня 2019 у Wayback Machine.], PHYS 7221, Louisiana State University, 2006. (англ.)
- June Barrow-Green (1997). Poincaré and the Three Body Problem (English) . American Mathematical Society. ISBN 978-0821803677.
- Mauri Valtonen; Hannu Karttunen (2006). The Three Body Problem (English) . Cambridge University Press. ISBN 978-0521852241.
- Christian Marchal (1990). The Three-Body Problem. Studies in Astronautics (English) . Elsevier Science. ISBN 978-0444874405.
- Florin Diacu (1996). The solution of the n-body Problem (PDF). The Mathematical Intelligencer (English) . 18 (3): 249—272. Архів оригіналу (PDF) за 4 березня 2016. Процитовано 4 грудня 2015.
- Alain Chenciner, Three body problem [Архівовано 4 листопада 2016 у Wayback Machine.], Scholarpedia. (англ.)
- Shannon Pauls, 5 Gifs of n-body Orbits (Animation) [Архівовано 27 жовтня 2016 у Wayback Machine.], Scientific American, 30/07/2013. (англ.)
- Florin Diacu (1996). The solution of the n-body Problem (PDF). The Mathematical Intelligencer (English) . 18 (3): 249—272. Архів оригіналу (PDF) за 4 березня 2016. Процитовано 4 грудня 2015.
- Science Magazine. Physicists Discover a Whopping 13 New Solutions to Three-Body Problem [Архівовано 5 січня 2016 у Wayback Machine.]. (англ.)
![]() |
Це незавершена стаття з фізики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |