Задача трьох тіл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Зада́ча трьох тіл — класична задача небесної механіки. Окремий випадок задачі n тіл. Вперше сформульована Ісааком Ньютоном 1687 року в «Математичних началах натуральної філософії» (лат. Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica) як задача про рух Місяця в гравітаційному полі Сонця та Землі. Класичного вигляду набула в роботах французького математика Жана д'Аламбера (фр. Problème des Trois Corps) 1747 року.

Формулювання[ред.ред. код]

Рух трьох матеріальних точок у трьохвимірному просторі під впливом гравітаційного поля.

В будь який момент часу рух трьох матеріальних точок з масами m_1,m_2,m_3, та координатами \mathbf{x_1},\mathbf{x_2},\mathbf{x_3} \in \mathbb{R}^3 задовольняє систему звичайних диференціальних рівнянь другого порядку:

{\ddot{\mathbf{x}}_\mathbf{1}} = -\frac{G m_2}{|\mathbf{x_1} - \mathbf{x_2}|^3}\left(\mathbf{x_1} - \mathbf{x_2}\right)-\frac{G m_3}{|\mathbf{x_1} - \mathbf{x_3}|^3}\left(\mathbf{x_1} - \mathbf{x_3}\right),

{\ddot{\mathbf{x}}_\mathbf{2}} = -\frac{G m_3}{|\mathbf{x_2} - \mathbf{x_3}|^3}\left(\mathbf{x_2} - \mathbf{x_3}\right)-\frac{G m_1}{|\mathbf{x_2} - \mathbf{x_1}|^3}\left(\mathbf{x_2} - \mathbf{x_1}\right),

{\ddot{\mathbf{x}}_\mathbf{3}} = -\frac{G m_1}{|\mathbf{x_3} - \mathbf{x_1}|^3}\left(\mathbf{x_3} - \mathbf{x_1}\right)-\frac{G m_2}{|\mathbf{x_3} - \mathbf{x_2}|^3}\left(\mathbf{x_3} - \mathbf{x_2}\right),

де G гравітаційна стала. Задача полягає в знаходженні координат трьох матеріальних точок з відомими початковими масами, координатами та швидкостями в будь-який момент часу. У загальнішому випадку йдеться про будь-які три об'єкти, що перебувають у центральному потенціальному полі одне одного (гравітаційному, електромагнітному, тощо).

Історія розв'язання[ред.ред. код]

Аналітичний розв'язок у виді збіжного ряду був знайдений 1912 року фінським математиком Карлом Зундманом[1], але не є практичним адже ряд збігається надзвичайно повільно (для корисного використання в астрономії необхідне вичислення більше ніж 10^{8\,000\,000} членів ряду[2]).[3] У загальному випадку точного розв'язку за допомогою інтегралів не існує.[3][4] Проблема полягає в принциповій неможливості розв'язати диференційне рівняння 6-го порядку з нерозділеними змінними. На практиці розв'язується ітераційно. Точний розв'язок для окремих випадків знайдено Леонардом Ейлером (для колінеарного розташування точок) та Жозефом-Луї Лагранжем (для так званих трикутних точок Лагранжа).

Література[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. K. Sundman (1912). Mémoire sur le problème des trois corps. Acta Mathematica 36. с. 105–179. doi:10.1007/BF02422379. 
  2. D. Beloriszky (1930). Application pratique des méthodes de M. Sundman à un cas particulier du problème des trois corps. Bulletin Astronomique. 2 6. с. 417–434. 
  3. а б Florin Diacu (1996). The solution of the n-body Problem. The Mathematical Intelligencer (англ. ) 18 (3). с. 249–272. 
  4. Пуанкаре А. Избранные труды в трёх томах. М.: Наука, 1971—1972. — Т. 2. — С. 748.

Посилання[ред.ред. код]


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.