Дигамма-функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці дигамма-функція {\textstyle{\psi(x)}} визначається через логарифмічну похідну гамма-функції:

 \psi(x) = \frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)} = \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}

Вона є першою полігамма-функцією, а вищі функції (тригамма-функція і т.д.) виходять з неї диференціюванням.

Дигамма-функція пов'язана з гармонійними числами співвідношенням

\displaystyle{\psi(n) = H_{n-1} - \gamma},

де  {\textstyle {H_n}} -n-е гармонійне число, а  {\textstyle {\gamma}} - постійна Ейлера — Маскероні.

Властивості[ред.ред. код]

  • Формула доповнення
     \displaystyle{\psi(1-x) - \psi(x) = \pi \cot(\pi x)}
  • Рекурентні співвідношення
     \psi(x+1) = \psi(x) + \frac{1}{x}
  • Розкладання на нескінченну суму
     \psi(x) = \ln(x) - \frac{1}{2x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(1-2n)}{x^{2n}}
де  \zeta(x) - Дзета-функція Рімана.
  • Логарифмічний розклад
     \psi(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k}\ln(x+k)
  • Теорема Гаус а
     \frac{\Gamma'(p/q)}{\Gamma(p/q)} = -\gamma - \ln(2q) - \frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{\pi p}{q}\right) + 2 \sum_{0<n<q/2}\cos\left(\frac{2\pi p n}{q}\right)\ln\left(\sin\left(\frac{\pi n}{q}\right)\right)
При цілих  p, q з умовою  0 <p <q .

Посилання[ред.ред. код]