Епсилон-мережа
ε-мережа (епсилон-мережа, ε-щільна множина) для підмножини метричного простору — множина з того ж простору така, що для будь-якої точки знайдеться точка , віддалена від не більше ніж на ε.
- Метричний простір, у якому для кожного існує скінченна -мережа, називається цілком обмеженим.
- Метрика на множині називається цілком обмеженою, якщо — цілком обмежений метричний простір.
- Сімейство метричних просторів таких, що для будь-кого існує натуральне число таке, що кожен простір допускає -мережу з не більш ніж точок називається універсально цілком обмеженим.
- Для таких сімейств виконується аналог теореми Громова про компактність.
- Топологічний простір, гомеоморфний цілком обмеженому метричному простору, називається метризованим цілком обмеженою метрикою.
- Для стандартної метрики множина раціональних чисел є ε-мережею для множини дійсних чисел для будь-якого ε > 0.
- Множина цілих чисел є ε-мережею для множини дійсних чисел для .
- Метричний простір має еквівалентну цілком обмежену метрику тоді й лише тоді, коли він сепарабельний.
- Топологічний простір метризується цілком обмеженою метрикою тоді й лише тоді, коли він регулярний і задовольняє другій аксіомі зліченності.
- Метричний простір компактний тоді й лише тоді, коли він повний і цілком обмежений. У трохи загальнішому формулюванні, теорема Гаусдорфа про компактність стверджує, що для відносної компактності підмножини метричного простору необхідно, а в разі повноти простору і достатньо, щоб за будь-якого існувала скінченна ε -мережа з елементів множини .
Необхідність
Нехай множина (відносно) компактна. Зафіксуємо і розглянемо будь-який елемент . Якщо для будь-якого , то скінченну ε-мережу з одного елемента вже побудовано. В іншому випадку знайдеться елемент такий, що . Далі є дві можливості. Або для будь-якого принаймні одне з чисел або менше , і тоді скінченну ε-мережу з двох елементів уже побудовано, або знайдеться елемент такий, що , , і так далі. Покажемо, що процес побудови точок обірветься після скінченного числа кроків, що означає, що скінченну ε-мережу буде побудовано. Якби це було не так, то вийшла б послідовність , для якої при . Але тоді ні сама послідовність ані жодна її підпослідовність не може збігатися, що суперечить компактності множини . Отже, для компактної множини ми побудували скінченну ε-мережу, точки якої належать самій множині.
Достатність
За будь-якого існує ε-мережа для множини . Візьмемо числову послідовність , де при і для кожного побудуємо -мережу . Розглянемо довільну послідовність . Оскільки є -мережею для , то, яким би не був елемент , матимемо, що для принаймні одного елемента . Тому будь-який елемент потрапляє принаймні в одну кулю , тобто вся множина , а тим більше вся послідовність розміститься в цих кулях. Оскільки число куль скінченне, а послідовність нескінченна, то знайдеться принаймні одна куля , яка міститиме нескінченну підпослідовність нашої послідовності. Це міркування можна повторити і для . Складемо діагональну підпослідовність . Покажемо, що ця послідовність збігається до себе. Оскільки і при входять до -ї підпослідовності, а -та підпослідовність міститься в кулі , то при . За припущенням, простір повний. Тому зі збіжності до себе послідовності випливає її збіжність до певної границі, а це й доводить можливість виділення з будь-якої послідовності збіжної підпослідовності, тобто (відносна) компактність множини [1]
- Повний метричний простір компактний тоді й лише тоді, коли для будь-кого в ньому існує компактна ε-мережа.
- Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов. Курс метрической геометрии. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 512 стр. ISBN 5-93972-300-4.
- Энгелькинг, Р. Общая топология. — М. : Мир, 1986. — 752 с.