Замкнута опукла функція

Функцію $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ називають замкнутою, якщо для кожного $\alpha \in \mathbb {R}$, підрівнева множина $\{x\in {\mbox{dom}}f\vert f(x)\leq \alpha \}$ це замкнута множина.

Тотожно, якщо надграфік визначений через ${\mbox{epi}}f=\{(x,t)\in \mathbb {R} ^{n+1}\vert x\in {\mbox{dom}}f,\;f(x)\leq t\}$ замкнутий, тоді функція $f$ замкнута.

Це визначення правильне для всіх функцій, але найуживаніше для опуклих функцій.

Властивості

• Якщо $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ це неперервна функція і ${\mbox{dom}}f$ замкнута, тоді $f$ замкнута.
• Якщо $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ це неперервна функція і ${\mbox{dom}}f$ відкрита, тоді $f$ закрита тоді й лише тоді, коли вона збігається до $\infty$ уздовж кожної послідовності, яка збігається до межової точки ${\mbox{dom}}f$.