Квантування Дірака

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Квантування Дірака (англ. Dirac Quantization) в системі СГС має вигляд:

,

де заряд електрону, елементарний магнітний заряд, приведена стала Планка та швидкість світла у вакуумі.

Виведення умови квантування Дірака для магнітного монополя[ред. | ред. код]

Поле, створене магнітним монополем, може бути описано векторним-потенціалом . Якщо допустити існування стрибка на деякій (довільній) поверхні , яка перетинає магнітний монополь і ділить простір на дві зв'язні частини[1]. Тоді напруженість поля неперервна на поверхні всюди, крім точки розташування магнітного монополя, а сама поверхня може бути довільним чином деформована за допомогою калібрувальних перетворень. Циркуляція стрибка на будь-якому контурі, що лежить на і захвачує магнітний монополь, рівна магнітному потоку, який витікає з магнітного монополя, тобто є рівна (згідно з теоремою Гауса) заряду . Контурний інтеграл від 4-вектора дає вклад в фазу хвильової функції електрично зарядженої частки, і стрибок , який відповідає стрибку на поверхні , рівний . При виконанні умови Дірака

,

хвильова функція є неперервною у всьому просторі. До того ж стрибок не дає вкладу в напруженість магнітного поля, яка визначається законом Кулона, і тому поверхня є неспостережна. Як цю поверхню можна вибрати конус, що прямує до нескінченності, на вершині якого і знаходиться магнітний монополь, а кут при вершині є досить малим («струна», плі «нитка», Дірака).

Можна показати (Тамм, 1931), що ефект магнітного монополя зводиться до заміни на (n — ціле число в умові Дірака) у відцентровому потенціалі радіального рівняння Шредінгера[2], при цьому орбіт, (кутовий момент) може приймати значення:

.
при
при
при
при .

Виглядає досить дивним, проте ці дробові числа збігаються з т.з. числами заповнення рівнів Ландау в квантовому ефекті Хола, котрий на перший погляд не має ніякого відношення до монополів Дірака (сучасна теорія КЕХ враховує тільки квантування магнітного поля, а електричне поле просто ігнорується).

Слід відзначити, що при непарному n, система з двох безспінових часток завдяки ненульовій дивергенції магнітного поля має напівцілий кутовий момент. Таким чином, з двох бозонів із ненульовими повними електричним та магнітним зарядами створюється діон, який підкоряється статистиці Фермі — Дірака. Аналогічним чином, зв'язаний стан бозону та ферміону може бути бозоном.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Янг і Ву Physical Review D 13, 3233-3236 (1976)
  2. И. Е. Тамм совместно с С. П. Шубиным «К теории фотоэффекта на металлах» 1931