Теорема Гауса

Теорема Гауса - один із основних законів електростатики, еквівалентний закону Кулона, твердження про зв'язок між потоком вектора електричної індукції через замкнену поверхню, і сумарним зарядом, в об'ємі, оточеному цією поверхнею. Теорема Гауса справедлива також для змінних полів і є одним із основних законів електродинаміки.

В системі СІ теорема Гауса має вигляд:

$\int_S \mathbf{D} \cdot \mathbf{dS} = Q$ ,

де D - вектор електричної індукції, $Q$ - сумарний електричний заряд в об'ємі, оточеному поверхнею S:

$Q = \int_V \rho dV,$

де $\rho$ - густина заряду.

В гаусовій системі одиниць СГСГ теорема Гауса формулюється

$\int_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = 4\pi Q$ ,

де $\mathbf{E}$ - напруженість електричного поля.

Зміст

1 Теорема Гауса і закон Кулона
- 1.1 Вивід закону Кулона
2 Теорема Гауса в диференціальній формі
3 Теорема Гауса для полів у середовищі
4 Магнітне поле
5 Дивіться також
6 Джерела

Теорема Гауса і закон Кулона[ред. • ред. код]

Теорема Гауса була отримана в 1835 Карлом Фрідріхом Гаусом, який виходив із закону Кулона. В сучасній електродинаміці зазвичай застосовують протилежний підхід — за основу приймаються рівняння Максвела, одним із яких є теорема Гауса, а закон Кулона виводиться як наслідок.

Експериментальна перевірка справедливості закону Кулона з високою точністю набагато складніша від експериментальної перевірки теореми Гауса.

Вивід закону Кулона[ред. • ред. код]

Для того, щоб отримати закон Кулона з теореми Гауса, розглядають точковий електричний заряд $q$ у вакуумі. На поверхні сфери радіусом $r$ , в центрі якої розташований заряд, електричне поле повинно мати однакове значення, виходячи із міркувань симетрії. У вакуумі вектор електричної індукції $\mathbf{D}$ дорівнює напруженості електричного поля $\mathbf{E}$ (система СГС). Тому, застосовуючи теорему Гауса:

$E 4\pi r^2 = 4\pi q \,$ .

Звідси основне твердження закону Кулона:

$E = \frac{q}{r^2}$

В системі СІ $\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E}$ , де $\varepsilon_0$ - електрична стала. Теорема Гауса записується:

$\varepsilon_0 E 4\pi r^2 = q$ .

Звідси:

$E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{r^2}$ .

Теорема Гауса в диференціальній формі[ред. • ред. код]

Теорему Гауса можна записати у вигляді диференціального рівняння в часткових похідних, враховуючи формулу Остроградського-Гауса (система СГС):

$\int_S \mathbf{E} \cdot \mathbf{dS} = \int_V \text{div}\; \mathbf{E} dV = 4\pi \int_V \rho dV$ .

Оскільки це співвідношення справедливе для будь-якого об'єму, рівними повинні бути й підінтегральні вирази:

$\text{div}\;\mathbf{E} = 4\pi \rho$ .

В системі СІ цей вираз має вигляд:

$\text{div}\;\mathbf{D} = \rho$

Теорема Гауса для полів у середовищі[ред. • ред. код]

Теорема Гауса, як одне з основних рівнянь електродинаміки, загалом, справедлива і для середовища, у своїй основній формі. Наприклад, використовуючи систему СГС:

$\int_S \mathbf{E}\cdot \mathbf{dS} = 4\pi \int_V \rho dV$ ,

якщо під Q розуміти всі заряди, враховуючи мікроскопічні. Однак, присутність зовнішнього заряду призводить до перерозподілу мікроскопічних зарядів у речовині. Тому, якщо внести зовнішній заряд q в діелектрик, то деякі із мікроскопічних зарядів, змістившись, покинуть той об'єм, по якому проводиться інтегрування, інші - увійдуть у цей об'єм зовні - речовина поляризується.

Для врахування цих ефектів в електродинаміці суцільних середовищ усі заряди розділяються на вільні та зв'язані. Вільними вважаються ті заряди, які можна привнести зовні, зяряджаючи тіла, зв'язаними - електричні заряди електронів та ядер речовини, які в зовнішніх полях зміщуються, одні відносно інших, створюючи поляризацію:

$\rho = \rho_b + \rho_f$ ,

де $\rho_b$ - густина зв'язаних зарядів, $\rho_f$ - густина вільних зарядів. Густина зв'язаних зарядів пов'язана з поляризацією: $\rho_b = - \text{div} \mathbf{P}$ .