Теорема Гаусса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
(Перенаправлено з Теорема Гауса)
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Класична електродинаміка
Електрика · Магнетизм
Див. також: Портал:Фізика

Теорема Гаусса — один з основних законів електродинаміки, що входить у систему рівнянь Максвелла.

У Міжнародній системі величин (ISQ) теорема Гаусса має вигляд:

,

де D — вектор електричної індукції,  — сумарний електричний заряд в об'ємі, оточеному поверхнею S:

де  — густина заряду.

У гауссовій системі СГСГ теорема Гаусса формулюється

,

де  — напруженість електричного поля.

Теорема Гаусса і закон Кулона[ред. | ред. код]

Теорему Гаусса отримав у 1835 році Карл Фрідріх Гаусс, який виходив із закону Кулона. У сучасній електродинаміці зазвичай застосовують протилежний підхід — за основу приймаються рівняння Максвела, одним із яких є теорема Гаусса, а закон Кулона виводиться як наслідок.

Експериментальна перевірка справедливості закону Кулона з високою точністю набагато складніша від експериментальної перевірки теореми Гаусса.

Виведення закону Кулона[ред. | ред. код]

Щоб отримати закон Кулона з теореми Гаусса, розглядають точковий електричний заряд у вакуумі. На поверхні сфери радіусом , у центрі якої розташований заряд, електричне поле повинно мати однакове значення, виходячи із міркувань симетрії. У вакуумі вектор електричної індукції дорівнює напруженості електричного поля (система СГС). Тому, застосовуючи теорему Гаусса:

.

Звідси основне твердження закону Кулона:

У системі ISQ , де  — електрична стала. Теорема Гаусса записується:

.

Звідси:

.

Теорема Гаусса в диференціальній формі[ред. | ред. код]

Теорему Гаусса можна записати у вигляді диференціального рівняння в часткових похідних, враховуючи формулу Остроградського — Гаусса (система СГС):

.

Оскільки це співвідношення справедливе для будь-якого об'єму, рівними повинні бути й підінтегральні вирази:

.

У системі ISQ цей вираз має вигляд:

Теорема Гаусса для полів у середовищі[ред. | ред. код]

Теорема Гаусса, як одне з основних рівнянь електродинаміки, загалом справедлива і для середовища, у своїй основній формі. Наприклад, використовуючи систему СГС:

,

якщо під Q розуміти всі заряди, враховуючи мікроскопічні. Однак, присутність зовнішнього заряду призводить до перерозподілу мікроскопічних зарядів у речовині. Тому, якщо внести зовнішній заряд q в діелектрик, то деякі із мікроскопічних зарядів, змістившись, покинуть той об'єм, по якому проводиться інтегрування, інші — увійдуть у цей об'єм зовні — речовина поляризується.

Для врахування цих ефектів в електродинаміці суцільних середовищ усі заряди розділяються на вільні та зв'язані. Вільними вважаються ті заряди, які можна привнести зовні, заряджаючи тіла, зв'язаними — електричні заряди електронів та ядер речовини, які в зовнішніх полях зміщуються, одні відносно інших, створюючи поляризацію:

,

де  — густина зв'язаних зарядів,  — густина вільних зарядів. Густина зв'язаних зарядів пов'язана з поляризацією: .

Тоді теорема Гаусса записується у вигляді

.

Вводячи вектор електричної індукції

,

отримуємо теорему Гаусса для діелектричних середовищ:

,

або в диференціальній формі

.

Магнітне поле[ред. | ред. код]

Магнітні заряди (монополі) поки що експериментально не спостерігалися, тому магнітний потік через замкнену поверхню завжди дорівнює нулю:

Див. також[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]

  • Сивухин Д.В. (1977). Общий курс физики. т III. Электричество. Москва: Наука.