Теорема Гауса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Класична електродинаміка
VFPt Solenoid correct2.svg
Електрика · Магнетизм

Теорема Гауса — один з основних законів електродинаміки, що входить в систему рівнянь Максвелла.

В системі СІ теорема Гауса має вигляд:

,

де D - вектор електричної індукції, - сумарний електричний заряд в об'ємі, оточеному поверхнею S:

де - густина заряду.

В гаусовій системі одиниць СГСГ теорема Гауса формулюється

,

де - напруженість електричного поля.

Теорема Гауса і закон Кулона[ред.ред. код]

Теорема Гауса була отримана в 1835 Карлом Фрідріхом Гаусом, який виходив із закону Кулона. В сучасній електродинаміці зазвичай застосовують протилежний підхід — за основу приймаються рівняння Максвела, одним із яких є теорема Гауса, а закон Кулона виводиться як наслідок.

Експериментальна перевірка справедливості закону Кулона з високою точністю набагато складніша від експериментальної перевірки теореми Гауса.

Вивід закону Кулона[ред.ред. код]

Для того, щоб отримати закон Кулона з теореми Гауса, розглядають точковий електричний заряд у вакуумі. На поверхні сфери радіусом , в центрі якої розташований заряд, електричне поле повинно мати однакове значення, виходячи із міркувань симетрії. У вакуумі вектор електричної індукції дорівнює напруженості електричного поля (система СГС). Тому, застосовуючи теорему Гауса:

.

Звідси основне твердження закону Кулона:

В системі СІ , де - електрична стала. Теорема Гауса записується:

.

Звідси:

.

Теорема Гауса в диференціальній формі[ред.ред. код]

Теорему Гауса можна записати у вигляді диференціального рівняння в часткових похідних, враховуючи формулу Остроградського-Гауса (система СГС):

.

Оскільки це співвідношення справедливе для будь-якого об'єму, рівними повинні бути й підінтегральні вирази:

.

В системі СІ цей вираз має вигляд:

Теорема Гауса для полів у середовищі[ред.ред. код]

Теорема Гауса, як одне з основних рівнянь електродинаміки, загалом, справедлива і для середовища, у своїй основній формі. Наприклад, використовуючи систему СГС:

,

якщо під Q розуміти всі заряди, враховуючи мікроскопічні. Однак, присутність зовнішнього заряду призводить до перерозподілу мікроскопічних зарядів у речовині. Тому, якщо внести зовнішній заряд q в діелектрик, то деякі із мікроскопічних зарядів, змістившись, покинуть той об'єм, по якому проводиться інтегрування, інші - увійдуть у цей об'єм зовні - речовина поляризується.

Для врахування цих ефектів в електродинаміці суцільних середовищ усі заряди розділяються на вільні та зв'язані. Вільними вважаються ті заряди, які можна привнести зовні, зяряджаючи тіла, зв'язаними - електричні заряди електронів та ядер речовини, які в зовнішніх полях зміщуються, одні відносно інших, створюючи поляризацію:

,

де - густина зв'язаних зарядів, - густина вільних зарядів. Густина зв'язаних зарядів пов'язана з поляризацією: .

Тоді теорема Гауса записується у вигляді

.

Вводячи вектор електричної індукції

,

отримуємо теорему Гауса для діелектричних середовищ:

,

або в диференціальній формі

.

Магнітне поле[ред.ред. код]

Магнітні заряди (монополі) поки що експериментально не спостерігалися, тому магнітний потік через замкнену поверхню завжди дорівнює нулю:

Дивіться також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Сивухин Д.В. (1977). Общий курс физики. т III. Электричество. Москва: Наука.