Теорема Гауса

Класична електродинаміка

Електрика · Магнетизм Електростатика Закон Кулона Теорема Гауса Електричний дипольний момент Електричний заряд Електрична індукція Електричне поле Електростатичний потенціал Магнітостатика Закон Біо-Савара-Лапласа Закон Ампера Магнітний момент Магнітне поле Магнітний потік Електродинаміка Векторний потенциал Диполь Потенціал Ліенара — Віхерта Сила Лоренца Струм зміщення Вихрові струми Рівняння Максвелла Електричний струм Електрорушійна сила Електромагнітна індукція Електромагнітне випромінювання Електромагнітне поле Електричне коло Закон Ома Правила Кірхгофа Індуктивність Радіохвилевод Резонатор Електрична ємність Електрична провідність Електричний опір Електричний імпеданс Коваріантне формулювання Тензор електромагнітного поля Тензор енергії-імпульсу 4-потенціал 4-струм Відомі науковці Генрі Кавендіш Майкл Фарадей Нікола Тесла Андре-Марі Ампер Густав Роберт Кірхгоф Гендрік Антон Лоренц Джеймс Клерк Максвелл Генріх Герц Альберт Абрагам Майкельсон Роберт Ендрус Міллікен

Теорема Гауса — один з основних законів електродинаміки, що входить в систему рівнянь Максвелла.

В системі СІ теорема Гауса має вигляд:

$\int _{S}\mathbf {D} \cdot \mathbf {dS} =Q$$\int _{S}\mathbf {D} \cdot \mathbf {dS} =Q$,

де D - вектор електричної індукції, $Q$$Q$ - сумарний електричний заряд в об'ємі, оточеному поверхнею S:

$Q=\int _{V}\rho dV,$$Q=\int _{V}\rho dV,$

де $\rho$$\rho$ - густина заряду.

В гаусовій системі одиниць СГСГ теорема Гауса формулюється

$\int _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {S} =4\pi Q$$\int _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {S} =4\pi Q$,

де $\mathbf {E}$$\mathbf{E}$ - напруженість електричного поля.

Теорема Гауса і закон Кулона

Теорема Гауса була отримана в 1835 Карлом Фрідріхом Гаусом, який виходив із закону Кулона. В сучасній електродинаміці зазвичай застосовують протилежний підхід — за основу приймаються рівняння Максвела, одним із яких є теорема Гауса, а закон Кулона виводиться як наслідок.

Експериментальна перевірка справедливості закону Кулона з високою точністю набагато складніша від експериментальної перевірки теореми Гауса.

Вивід закону Кулона

Для того, щоб отримати закон Кулона з теореми Гауса, розглядають точковий електричний заряд $q$$q$ у вакуумі. На поверхні сфери радіусом $r$$r$, в центрі якої розташований заряд, електричне поле повинно мати однакове значення, виходячи із міркувань симетрії. У вакуумі вектор електричної індукції $\mathbf {D}$$\mathbf{D}$ дорівнює напруженості електричного поля $\mathbf {E}$$\mathbf{E}$ (система СГС). Тому, застосовуючи теорему Гауса:

$E4\pi r^{2}=4\pi q\,$$E4\pi r^{2}=4\pi q\,$.

Звідси основне твердження закону Кулона:

$E={\frac {q}{r^{2}}}$$E={\frac {q}{r^{2}}}$

В системі СІ $\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E}$$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E}$, де $\varepsilon _{0}$$\varepsilon_0$ - електрична стала. Теорема Гауса записується:

$\varepsilon _{0}E4\pi r^{2}=q$$\varepsilon _{0}E4\pi r^{2}=q$.

Звідси:

$E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}$$E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}$.

Теорема Гауса в диференціальній формі

Теорему Гауса можна записати у вигляді диференціального рівняння в часткових похідних, враховуючи формулу Остроградського-Гауса (система СГС):

$\int _{S}\mathbf {E} \cdot \mathbf {dS} =\int _{V}{\text{div}}\;\mathbf {E} dV=4\pi \int _{V}\rho dV$$\int _{S}\mathbf {E} \cdot \mathbf {dS} =\int _{V}{\text{div}}\;\mathbf {E} dV=4\pi \int _{V}\rho dV$.

Оскільки це співвідношення справедливе для будь-якого об'єму, рівними повинні бути й підінтегральні вирази:

${\text{div}}\;\mathbf {E} =4\pi \rho$${\text{div}}\;\mathbf {E} =4\pi \rho$.

В системі СІ цей вираз має вигляд:

${\text{div}}\;\mathbf {D} =\rho$${\text{div}}\;\mathbf {D} =\rho$

Теорема Гауса для полів у середовищі

Теорема Гауса, як одне з основних рівнянь електродинаміки, загалом, справедлива і для середовища, у своїй основній формі. Наприклад, використовуючи систему СГС:

$\int _{S}\mathbf {E} \cdot \mathbf {dS} =4\pi \int _{V}\rho dV$$\int _{S}\mathbf {E} \cdot \mathbf {dS} =4\pi \int _{V}\rho dV$,

якщо під Q розуміти всі заряди, враховуючи мікроскопічні. Однак, присутність зовнішнього заряду призводить до перерозподілу мікроскопічних зарядів у речовині. Тому, якщо внести зовнішній заряд q в діелектрик, то деякі із мікроскопічних зарядів, змістившись, покинуть той об'єм, по якому проводиться інтегрування, інші - увійдуть у цей об'єм зовні - речовина поляризується.

Для врахування цих ефектів в електродинаміці суцільних середовищ усі заряди розділяються на вільні та зв'язані. Вільними вважаються ті заряди, які можна привнести зовні, зяряджаючи тіла, зв'язаними - електричні заряди електронів та ядер речовини, які в зовнішніх полях зміщуються, одні відносно інших, створюючи поляризацію:

$\rho =\rho _{b}+\rho _{f}$$\rho =\rho _{b}+\rho _{f}$,

де $\rho _{b}$$\rho _{b}$ - густина зв'язаних зарядів, $\rho _{f}$$\rho _{f}$ - густина вільних зарядів. Густина зв'язаних зарядів пов'язана з поляризацією: $\rho _{b}=-{\text{div}}\mathbf {P}$$\rho _{b}=-{\text{div}}\mathbf {P}$.

Тоді теорема Гауса записується у вигляді

$\int _{S}(\mathbf {E} +4\pi \mathbf {P} )\cdot \mathbf {dS} =4\pi \int _{V}\rho _{f}dV$$\int _{S}(\mathbf {E} +4\pi \mathbf {P} )\cdot \mathbf {dS} =4\pi \int _{V}\rho _{f}dV$.

Вводячи вектор електричної індукції

$\mathbf {D} =\mathbf {E} +4\pi \mathbf {P}$$\mathbf {D} =\mathbf {E} +4\pi \mathbf {P}$,

отримуємо теорему Гауса для діелектричних середовищ:

$\int _{S}\mathbf {D} \cdot \mathbf {dS} =4\pi \int _{V}\rho _{f}dV$$\int _{S}\mathbf {D} \cdot \mathbf {dS} =4\pi \int _{V}\rho _{f}dV$,

або в диференціальній формі

${\text{div}}\;\mathbf {D} =4\pi \rho _{f}$${\text{div}}\;\mathbf {D} =4\pi \rho _{f}$.

Магнітне поле

Магнітні заряди (монополі) поки що експериментально не спостерігалися, тому магнітний потік через замкнену поверхню завжди дорівнює нулю:

$\int _{S}\mathbf {B} \cdot \mathbf {dS} =0.\,$$\int _{S}\mathbf {B} \cdot \mathbf {dS} =0.\,$

Дивіться також

• Теорема Остроградського-Гауса

Джерела

• Сивухин Д.В. (1977). Общий курс физики. т III. Электричество. Москва: Наука.