Майже проста група

Кажуть, що група майже проста, якщо вона містить неабелеву просту групу і міститься в групі автоморфізмів цієї простої групи. У символьному записі група A майже проста, якщо існує проста група S, така, що $S\leq A\leq \operatorname {Aut} (S)$.

Приклади

• Тривіально, неабелеві прості групи та повні групи автоморфізмів майже прості, але є приклади майже простих груп, які не є ні простими, ні повними групами автоморфізмів.
• Для $n=5$ або $n\geqslant 7$ симетрична група $S_{n}$ є групою автоморфізмів простої знакозмінної групи $A_{n},$ так що $S_{n}$ є майже простою в цьому тривіальному сенсі.
• Для $n=6$ існує гарний приклад, оскільки, $S_{6}$ міститься точно між простою групою $A_{6}$ і $\operatorname {Aut} (A_{6}),$ внаслідок виняткових зовнішніх автоморфізмів групи $A_{6}$. Дві інші групи, група Матьє $M_{10}$ і проєктивна повна лінійна група $\operatorname {PGL} _{2}(9)$, також містяться точно між $A_{6}$ і $\operatorname {Aut} (A_{6}).$

Властивості

Група автоморфізмів неабелевої простої групи є повною групою (відображення суміжних класів є ізоморфізмом у групу автоморфізмів), але власна підгрупа повної групи автоморфізмів не обов'язково повна.

Структура

Згідно з гіпотезою Шраєра, нині повсюдно прийнятою як наслідок класифікації простих скінченних груп, група зовнішніх автоморфізмів скінченної простої групи розв'язна. Отже, скінченна проста група є розширенням розв'язної групи за простою групою.

Див. також

• Квазіпроста група
• Редуктивна група

Література

• Вдовин Е. П. Картеровы подгруппы в конечных почти простых группах // Алгебра и логика. — 2007. — Т. 46, вип. 2 (16 червня). — С. 157–216.
• Вдовин Е. П., Ревин Д. О. Теоремы силовского типа // УСПЕХИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК. — 2011. — Т. 66, вип. 5(401) (16 червня). — С. 3–46.

Посилання

• Almost simple group Архівовано серпень 30, 2009 на сайті Wayback Machine. на вікі «Властивості груп» (англ.)