Згортка Діріхле

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці, згортка Діріхлебінарна операція визначена для арифметичних функцій, що широко використовується в теорії чисел. Названа на честь німецького математика Діріхле.

Визначення[ред.ред. код]

Якщо ƒ і g — арифметичні функції, можна визначити нову арифметичну функцію ƒ * g, згортку Діріхле функційƒ і g,

де сума береться по всіх дільниках d числа n.

Приклади[ред.ред. код]

Приклад 1[ред.ред. код]

Визначимо функцію наступним чином:

Визначимо тепер згортку Діріхле функції і деякої арифметичної функції

Приклад 2[ред.ред. код]

Нехай функції і визначені наступним чином:

Знайдемо значення згортки Діріхле для аргументу :

Властивості[ред.ред. код]

Множина арифметичних функцій утворює комутативне кільце, щодо операцій поточкового додавання і згортки Діріхле, де мультиплікативною одиницею є функція δ, що визначається δ(n) = 1 якщо n = 1 і δ(n) = 0, якщо n > 1.

Оборотними елементами цього кільця є арифметичні функції f для яких f(1) ≠ 0. Згортка Діріхле задовольняє такі властивості:

Згортка Діріхле двох мультиплікативних функцій є мультиплікативною функцією. Кожна мультиплікативна функція має обернену Діріхле, що теж є мультиплікативною функцією.

Обертання Діріхле[ред.ред. код]

Для арифметичної функції ƒ, рекурсивна формула для обчислення оберненої Діріхле має вигляд:

для n > 1,

Коли ƒ(n) = 1 для всіх n, тоді оберненою функцією є ƒ −1(n) = μ(n) — функція Мебіуса.

Ряди Діріхле[ред.ред. код]

Якщо f — арифметична функція, відповідні їй ряди Діріхле визначаються формулою

для тих комплексних аргументів s для яких ряд збігається.При цьому виконується рівність:

для всіх s для яких обидва ряди зліва є збіжними, причому принаймні один абсолютно.

Література[ред.ред. код]

  • Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3
  • Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-84903-9.