Обернення (логіка)
У логіці, обернення категоричного або імплікативного судження є результатом обернення обох його частин. Для імплікації P → Q, оберненням буде Q → P. Для категоричного судження[en] Для будь-якого S існує P, оберненням є Для будь-якого P існує S. У будь-якому випадку це обернення обов'язково випливає з первісної заяви.[1] Категоричне обернення заяви контрастує з контрапозицією та запереченням[en]. Загалом, істинність S нічого не говорить про правдивість його обернення, якщо попередня P і Q, як наслідок, не логічно еквівалентні.
Імплікативні обернення[ред. | ред. код]
Нехай S є твердженням виду P означає Q(P → Q). Тоді оберненням S є твердження Q означає P (Q → P). Загалом, істинність S нічого не говорить про правдивість його обернення, якщо первісне P і наслідок Q не логічно еквівалентні.
Наприклад, розглянемо правдиве висловлювання: «Якщо я людина, то я смертний.» Обернене твердження до цієї заяви: "Якщо я смертний, то я людина, " яке не обов'язково вірно.
З іншого боку, обернення твердження з взаємодоповнюючої точки зору залишається вірним, враховуючи істинність первісної пропозиції. Таким чином, твердження «Якщо я холостяк, то я неодружений чоловік» логічно еквівалентне «Якщо я неодружений чоловік, то я холостяк».
Завдяки таблиці істинності стає ясно, що S і обернення S не є логічно еквівалентні, якщо обидва члени не мають на увазі один одного:
| P | Q | P → Q | Q → P (обернення) |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | F | T |
| F | T | T | F |
| F | F | T | T |
Перехід від твердження до його обернення є помилковістю при підтвердженні наслідку. Проте, якщо твердження S і його обернення еквівалентні (тобто якщо P істинно тоді і тільки тоді, коли Q також вірно), то підтверджувальний наслідок буде дійсним.
Обернення теореми[ред. | ред. код]
В математиці, обернення твердження теореми виду P → Q буде Q → P. Обернення може або не може бути правдою. Якщо це правда, то доказ може виявитися складним. Наприклад, теорема про чотири вершини була доведена в 1912 році, але її обернення тільки в 1998 році.
На практиці, при визначенні оберненого твердження до математичної теореми, аспекти первісного можуть бути прийняті як встановлення контексту. Тобто, обернення даної P, якщо із Q випливає R буде дано P, якщо R слідує із Q. Наприклад, теорему Піфагора можна сформулювати так:
Даний трикутник зі сторонами довжиною a, b, c, якщо кут на протилежній стороні довжини c є прямим кутом, тоді a2 + b2 = c2.
Обернення, яке також з'являється в Евклідових Елементах (Книга I, пропозиція 48), можна сформулювати так:
З огляду на трикутник зі сторонами довжиною a, b, c, якщо a2 + b2 = c2, тоді кут, протилежний стороні довжини c, є прямим кутом.
Категоричне обернення[ред. | ред. код]
У традиційній логіці, процес переходу від Для будь-яких S існують P до оберненого Для будь-яких P існують S називається перетворенням. За словами Аса Махана[en], «Оригінальна пропозиція називається впливом, при перетворенні, вона номінується оберненим. Перетворення справедливо, тоді, і тільки тоді, коли ніщо не затверджується в обернене, яке не підтверджене або мається на увазі у впливі. „Коментатор“ більш зазвичай називають „перетвореним“»[2] . У простій формі, перетворення діє тільки для Е і I пропозиції:[3]
| Тип | Твердження | Просте обернення | Обернення per accidens |
|---|---|---|---|
| A | Для будь-яких S існують P | не діє | Для деякого P існує S |
| E | У жодного S не є P | У жодного P не є S | Для деякого P не існує S |
| I | Для деякого S існує P | Для деякого P існує S | – |
| O | Для деякого S існує не P | не діє | – |
Справедливість простого перетворення тільки для Е і I пропозицій може бути виражено обмеженням, що «Жоден термін не повинен поширюватися в обернене, поширюване в перероблення»[4] . Для пропозицій E, як суб'єкт, так і предикат, розподіляється[en], поки для I пропозиції, нічого не немає.
Для А пропозицій, суб'єкт розподілений, а предикат не є, і тому висновок з твердження А її обернене не є дійсним. Як приклад, для судження A "Усі кішки є ссавцями, " обернене «Усі ссавці — кішки», очевидно, невірно. Проте, більш слабке твердження «Деякі ссавці кішки» — це правда. Спеціалісти-логіки визначають конверсію per accidens виконувати процес виробництва більш слабкого твердження до даного. Виведення з твердження його оберненого методом per accidens , як правило, діє. Однак, як і в силогізмах, цей перехід від загального до конкретного викликає проблеми з порожніми категоріями: «Усі єдинороги — ссавці» часто сприймається як правда, в той час як зворотне per accidens «Деякі ссавці — єдинороги» явно помилково.
У першочерговому обчисленні предикатів, твердження Для будь-яких S існують P може бути представлено у вигляді .[5] Тому ясно, що категоричне обернення тісно пов'язано з імплікаційним оберненням, і що S і P не можуть бути поміняні місцями в твердженні Для будь-яких S існують P.
|
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |
Див. також[ред. | ред. код]
Примітки[ред. | ред. код]
- ↑ Robert Audi, ed. (1999), The Cambridge Dictionary of Philosophy, 2nd ed., Cambridge University Press: «converse».
- ↑ Аса Махан (1857)Наука логіки або Аналіз законів мислення, p. 82.
- ↑ Вільям Томас Перрі і Едвард А. Хакер (1991), Арістотелівська логіка, SUNY Пресса, p. 207.
- ↑ Джеймс Хілсоп[en] (1892), елементи логіки, Сини С. Скрібнер, р. 156.
- ↑ Гордон Ханнінгс (1988), Світ і мову в філософії Вітгенштейна, SUNY Пресс, p. 42.
Подальше читання[ред. | ред. код]
- Арістотель. органон.
- Ірвінг Копі[en]. Введення в логіку. Макміллан, 1953.
- Ірвінг Копі[en] символічна логіка. Макміллан, 1979, п'яте видання.
- Сюзан Стебінг. Сучасне Введення в логіку. Кромвель Компани, 1931.