Логічна еквівалентність

EQ, XNOR
Визначення	$a=b$
Таблиця істинності	$(1001)$
Логічний вентиль
Нормальні форми
Диз'юнктивна	$a\cdot b+{\overline {a}}\cdot {\overline {b}}$
Кон'юнктивна	$({\overline {a}}+b)\cdot (a+{\overline {b}})$
Алгебрична	$1\oplus a\oplus b$
Ґратка Поста
$P_{0}$ (зберігає 0)	✗
$P_{1}$ (зберігає 1)	Так
$M$ (монотонна)	✗
$L$ (лінійна)	Так
$S$ (самодвоїста)	✗

Логічна еквівалентність (еквіваленція) — двомісна логічна операція, що має значення «істина» тоді і тільки тоді, коли обидва операнди мають однакове значення. В інших випадках еквіваленція буде хибною. Операція відображає вживання сполучника «тоді і тільки тоді» в логічних висловлюваннях.

Еквівалентність позначають символами: $\leftrightarrow$, $~\equiv$.
( $A\leftrightarrow B$, $A\equiv B$ ).

Висловлення $A\leftrightarrow B$ є правдивим тоді і тільки тоді, коли водночас правдиві обидві імплікації $A\rightarrow B$ та $B\rightarrow A$, тобто:

$A\leftrightarrow B=(A\rightarrow B)\land (B\rightarrow A)$.

У природній мові аналогами еквіваленції є вирази:

A тоді і тільки тоді, коли B

A якщо B і B якщо A

Для A достатньо і необхідно B

A матеріально еквівалентно B

Визначення

Таблиця істинності виглядає таким чином:

$A$	$B$	$A\leftrightarrow B$
F	F	T
F	T	F
T	F	F
T	T	T

Ця таблиця відрізняється від таблиці істинності для імплікації другим рядком, а від таблиці істинності для конверсії імплікації  — третім рядком.

Також еквівалентність є запереченням виключної диз’юнкції, тобто

$(A\leftrightarrow B)=\lnot (A\oplus B)$

$A$	$B$	$A\leftrightarrow B$	$A\oplus B$
F	F	T	F
F	T	F	T
T	F	F	T
T	T	T	F

Оскільки імплікація виражає відношення між достатньою умовою та її наслідком, а конверсія імплікації  — між необхідною умовою та її наслідком, то еквіваленція або подвійна імплікація, виражає відношення між достатньою і необхідною умовою та її наслідком.

Наприклад, "Якщо він знає англійську мову, то він перекладе цей текст", "Якщо геометрична фігура квадрат, то її діагоналі діляться навпіл". Як у матеріальній імплікації сполучник "якщо, то ..." не виражає смислового зв'язку між антецедентом і консеквентом, так і в еквіваленції сполучник "якщо і тільки якщо" не виражає змістовно зв'язку між лівою і правою частинами еквівалентності; він виражає лише відношення між їх істинними значеннями ("істина", "хибність"). Ця особливість еквіваленції відіграє важливу роль для операцій із символами у логічних численнях.

Знання логічної еквіваленції дає можливість:

• а) спростити запис послідовності висловлювань;
• б) перейти від одного висловлювання до логічно еквівалентного йому (тобто, з тим самим істинним значенням);
• в) замінити у послідовності формул одні формули на інші.

Властивості

• рефлексивність

$a\leftrightarrow a$

• асоціативність

$a\leftrightarrow (b\leftrightarrow c)\equiv (a\leftrightarrow b)\leftrightarrow c$

• комутативність

$a\leftrightarrow b\equiv b\leftrightarrow a$

• дистрибутивність

$a\lor (b\leftrightarrow c)\equiv (a\lor b)\leftrightarrow (a\lor c)$

Функціональна повнота

Множина операцій $\{\leftrightarrow ,\not \to \}$ є функціонально повною:

$\lnot a\equiv (a\leftrightarrow a)\not \to a$

$\lnot a\equiv a\leftrightarrow (a\not \to a)$

$a\to b\equiv \lnot (a\not \to b)$

...

Див. також

• Відношення еквівалентності
• Булева множина
• Правила де Моргана
• Список логічних символів

Джерела

• Г. Цейтлін. Елементи теорії булевих функцій. — Київ : Техніка, 1967. — 76 с.(укр.)
• Вітенько І. В. Математична логіка: Курс лекцій. — Ужгород : УжДУ, 1971. — 224 с.(укр.)
• Хромой В. Я. Збірник вправ і задач з математичної логіки. — Київ : Вища школа, 1978. — 160 с.(укр.)
• Дрозд Ю. А. (2005). Основи математичної логіки (PDF). Київ: ВПЦ "Київський університет". с. 96. (укр.)
• Еквівалентність // Філософський енциклопедичний словник / В. І. Шинкарук (гол. редкол.) та ін ; Інститут філософії імені Григорія Сковороди НАН України. — Київ : Абрис, 2002. — 742 с. — 1000 екз. — ББК 87я2. — ISBN 966-531-128-X.