Логічна еквівалентність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Логічна еквівалентність (еквіваленція) — двомісна логічна операція, що має значення «істина» тоді і тільки тоді, коли обидва операнди мають однакове значення. В інших випадках еквіваленція буде хибною. Операція відображає вживання сполучника «тоді і тільки тоді» в логічних висловлюваннях.

Еквівалентність позначають символами: , .
( , ).

Висловлення є правдивим тоді і тільки тоді, коли водночас правдиві обидві імплікації та , тобто:

.

У природній мові аналогами еквіваленції є вирази:

A тоді і тільки тоді, коли B
A якщо B і B якщо A
Для A достатньо і необхідно B
A матеріально еквівалентно B

Визначення[ред.ред. код]

Діаграма Венна для операції

Таблиця істинності виглядає таким чином:

хибність хибність істина
хибність істина хибність
істина хибність хибність
істина істина істина


Ця таблиця відрізняється від таблиці істинності для імплікації другим рядком, а від таблиці істинності для конверсії імплікації  — третім рядком.

Також еквівалентність є запереченням виключної диз’юнкції, тобто

Оскільки імплікація виражає відношення між достатньою умовою та її наслідком, а конверсія імплікації  — між необхідною умовою та її наслідком, то еквіваленція або подвійна імплікація, виражає відношення між достатньою і необхідною умовою та її наслідком.

Наприклад, "Якщо він знає англійську мову, то він перекладе цей текст", "Якщо геометрична фігура квадрат, то її діагоналі діляться навпіл". Як у матеріальній імплікації сполучник "якщо, то ..." не виражає смислового зв'язку між антецедентом і консеквентом, так і в еквіваленції сполучник "якщо і тільки якщо" не виражає змістовно зв'язку між лівою і правою частинами еквівалентності; він виражає лише відношення між їх істинними значеннями ("істина", "хибність"). Ця особливість еквіваленції відіграє важливу роль для операцій із символами у логічних численнях.

Знання логічної еквіваленції дає можливість:

  • а) спростити запис послідовності висловлювань;
  • б) перейти від одного висловлювання до логічно еквівалентного йому (тобто, з тим самим істинним значенням);
  • в) замінити у послідовності формул одні формули на інші.

Властивості[ред.ред. код]

Функціональна повнота[ред.ред. код]

Множина операцій є функціонально повною:

...

Дивись також[ред.ред. код]

Джерела і посилання[ред.ред. код]

Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.