Орисфера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Спряжені орисфери в моделі Пуанкаре.

В фінслеровій геометрії, орисфера визначаеться як межа сімейства сфер, наступним чином.

Зафіксуємо точку p фінслерового простору та геодезичний промінь l, що виходить з цієї точки. Розглянемо сімейство сфер S(r,O),\ O\in l, що проходять через точку p, центри яких розташовані на промені l. Межа послідовності цих сфер, коли радіус r зростає до нескінченності, називається орисферою.

Пов'язані визначення[ред.ред. код]

  • Орисфера H_{l^-} , що проходить через точку p, і побудована за променем l ^-, протилежно спрямованому променю l, називається спряженою до орисфери H_{l^ + }, побудованої по променю l.
  • Орикуля — тіло обмежене орисферою.
  • На двовимірній фінслеровій поверхні орисфера називається орициклом.
  • Сімейство орисфер, для якого точка p пробігає всю пряму l, доповнене сімейством прямих «паралельних» l утворює орициклічну систему координат.

Приклади[ред.ред. код]

  • В еклідовому просторі орисферами є евклідові площини. Відповідно, в евклідовій площині орициклом буде пряма.

Простір Лобачевського[ред.ред. код]

В залежності від моделі геометрії Лобачевського, орисфери мають наступний вигляд:

  • В моделі Пуанкаре в кулі \Delta^n орисферами будуть сфери, дотичні до абсолюта та круги, що проходять через центр сфери \Delta^n.
  • В моделі Пуанкаре у верхньому півпросторі \H^n=\{(x_1,\dots,x_n) \in \mathbb{R}^n |\ x_n>0 \} орисферами будуть сфери, дотичні до площини  x_n=0 (абсолюта) та площини  x_n=C,\ (C>0).

Властивості орисфер у многовидах Адамара[ред.ред. код]

Многовидом Адамара називається повний однозв'язний ріманів многовид непозитивної секційної кривини. Прикладом буде простір Лобачевского, як многовид сталої секційної кривини −1.

В многовиді Адамару класу C^{\infty} орисфера буде поверхнею класу C^2[1]. Тому для орисфер в многовиді Адамара існує нормальна кривизна в кожній точці в будь-якому напрямку.

Відомом, що для сфер многовиду Адамара з обмеженими секційними кривинами  0>-k_1^2 \geqslant K_{\sigma} \geqslant -k^2_2,\ k_1,
k_2>0 нормальна кривина сфер обмежена {k_2} \geqslant k_n \geqslant
{k_1}[2]. Так як, орисфера буде межею сфер, тоді нормальна кривина орисфер буде обмежена: {k_2} \geqslant k_n \geqslant {k_1}.

Як наслідок отримуємо, що нормальна кривина орисфер у просторі Лобачевського дорівнює 1. А отже, у внутрішній метриці, індукованій простором Лобачевського, орисфера ізометрична евклідовому простору.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Щербаков С. А., Орисферическая координатная сеть на гиперболическом роге. Сборник «Геометрия». — Ленинград: Изд-во им. А. И. Герцена, 1977. C. 117–128.
  2. Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А., Введение в риманову геометрию, СПб., Наука, 1994, c. 173