Орисфера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Спряжені орисфери в моделі Пуанкаре.

У фінслеровій геометрії, орисфера визначається як межа сімейства сфер, таким чином.

Зафіксуємо точку фінслерового простору та геодезичний промінь , що виходить з цієї точки. Розглянемо сімейство сфер , що проходять через точку , центри яких розташовані на промені . Межа послідовності цих сфер, коли радіус зростає до нескінченності, називається орисферою.

Пов'язані визначення[ред.ред. код]

  • Орисфера , що проходить через точку , і побудована за променем , протилежно спрямованому променю , називається спряженою до орисфери , побудованої по променю .
  • Орикуля — тіло обмежене орисферою.
  • На двовимірній фінслеровій поверхні орисфера називається орициклом.
  • Сімейство орисфер, для якого точка пробігає всю пряму , доповнене сімейством прямих «паралельних» утворює орициклічну систему координат.

Приклади[ред.ред. код]

  • В евклідовому просторі орисферами є евклідові площини. Відповідно, в евклідовій площині орициклом буде пряма.

Простір Лобачевського[ред.ред. код]

В залежності від моделі геометрії Лобачевського, орисфери мають такий вигляд:

  • В моделі Пуанкаре в кулі орисферами будуть сфери, дотичні до абсолюту та круги, що проходять через центр сфери .
  • В моделі Пуанкаре у верхньому півпросторі орисферами будуть сфери, дотичні до площини (абсолюту) та площини .

Властивості орисфер у многовидах Адамара[ред.ред. код]

Многовидом Адамара називається повний однозв'язний ріманів многовид непозитивної секційної кривини. Прикладом буде простір Лобачевского, як многовид сталої секційної кривини −1.

У многовиді Адамару класу орисфера буде поверхнею класу [1]. Тому для орисфер у многовиді Адамара існує нормальна кривина в кожній точці в будь-якому напрямку.

Відомо, що для сфер многовиду Адамара з обмеженими секційними кривинами нормальна кривина сфер обмежена [2]. Оскільки, орисфера буде межею сфер, то нормальна кривина орисфер буде обмеженою:

Як наслідок отримуємо, що нормальна кривина орисфер у просторі Лобачевського дорівнює 1. А отже, у внутрішній метриці, індукованій простором Лобачевського, орисфера ізометрична евклідовому простору.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Щербаков С. А., Орисферическая координатная сеть на гиперболическом роге. Сборник «Геометрия». — Ленинград: Изд-во им. А. И. Герцена, 1977. C. 117–128.
  2. Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А., Введение в риманову геометрию, СПб., Наука, 1994, c. 173