Секційна кривина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В рімановій геометрії, секційна кривина є однією із кривин ріманового многовиду. Секційна кривина Kp) залежить від вибору двовимірної площині σp в дотичному просторі в точці p. У двовимірному рімановому многовиді секційна кривина збігається з гаусовою кривиною.

Секційна кривина повністю визначається тензором кривини.

Визначення[ред.ред. код]

Для ріманового многовиду та двох лінійно незалежних дотичних векторів X і Y в точці p ()

Тут R — тензор кривини Рімана. В локальних координатах[1]

де бівектор .

Секційна кривина залежить від вибору двовимірної площини, але не залежить від векторів X і Y, які визначають цю площину.

Зокрема, якщо X і Y ортонормовані, то

Теорема Топоногова про порівняння кутів[ред.ред. код]

Нехай в повному рімановому многовиді M всі секційні кривини . Тоді для будь-якого геодезичного трикутника в M знайдеться на -площині такий геодезичний трикутник з тими ж довжинами сторін, що і у трикутника , у якого кожний з кутів не буде перевищувати відповідного йому кута трикутника [2].

Під -площиною мається на увазі двовимірний многовид сталої кривини  — площина Лобачевського, сфера або евклідова площина.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Борисенко, О. А. (1995). Диференціальна геометрія і топологія: Навч. посібник для студ. Харків: Основа. с. 213. ISBN 5-7768-0388-8. 
  2. Топоногов В.А., Римановы пространства кривизны, ограниченной снизу, Успехи математических наук. 1959. Том 54, №1, с. 87-130