Геодезична лінія

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Геодезичний трикутник на сфері. Геодезичні лінії — це дуги великих кіл.

Геодези́чна лі́нія — крива на гладкому многовиді, головна нормаль якої ортогональна до многовиду. Геодезична є узагальненням поняття прямої на викривлені простори: це лінія, яка для двох близько розташованих точок буде найкоротшою.

Зокрема геодезичними лініями будуть:

У метричних просторах поняття геодезичної лінії узагальнюється поняттям квазігеодезичної лінії.

Властивості кривої на многовиді[ред.ред. код]

В охоплюючому многовид евклідовому просторі рівняння кривої задається функцією радіус-вектора точки кривої від параметра кривої: . Оскільки ця крива також лежить на -вимірному многовиді, який задається рівнянням: , то рівняння кривої дається функціями координат многовиду від параметра кривої :

Вектор кривини кривої є другою похідною від радіус-вектора по натуральному параметру кривої):

Одиничний вектор вздовж вектора кривини є головною нормаллю кривої.

Вектор кривини можна розкласти на дві частини: паралельну до многовиду й ортогональну до нього.

Паралельна частина кривини називається геодезичною кривиною кривої. Згідно з означенням, для геодезичної лінії вона дорівнює нулю.

Обчислимо геодезичну кривину:

Отже контраваріантні координати геодезичної кривини дорівнюють:

Функціонал довжини кривої[ред.ред. код]

Найкоротшою лінією на многовиді, що сполучає дві точки многовида, є відрізок геодезичної лінії.

Розглянемо варіацію функціонала довжини кривої, параметр кривої пробігає значення від до :

Перша варіація[ред.ред. код]

У точці локального екстремуму перша варіація дорівнює нулю (для спрощення запису в наступних перетвореннях не будемо писати межі інтегрування).

В останній формулі варіація точок кривої лежить у дотичному до многовида афінному просторі, і ми можемо записати:

Оскільки варіації довільні (хоча малі), то для рівності нулю останнього інтеграла в формулі (5) треба, щоб вектор кривини кривої (2) був ортогональним до многовиду, тобто геодезична кривина (3) дорівнювала нулю:

Формула (6) є рівнянням геодезичної лінії — диференційним рівнянням відносно невідомих функцій при заданій метриці на многовиді (а отже і заданих символах Крістофеля ).

Друга варіація[ред.ред. код]

Повторимо обчислення варіації довжини кривої (4), але тепер будемо враховувати одночасно доданки першого й другого порядків. Для обчислень нам знадобиться розклад у ряд Тейлора (до членів другого порядку включно) функції квадратного кореня :

Підінтегральний вираз формули (4) для проварійованої кривої дорівнює:

або, розкладаючи в ряд з точністю до членів другого порядку:

Розглянемо детальніше середній доданок в останньому виразі. У ньому ми маємо одиничний дотичний вектор .

Варіація за формулою Тейлора виражається через варіацію координат на многовиді з точністю до членів другого порядку:

Збираючи все докупи, знаходимо першу й другу варіації, при цьому вважаючи параметр кривої натуральним:

Другу варіацію можна повністю подати через варіації координат .

Позначимо варіацію одиничного дотичного вектора (разом із паралельним переносом на варіацію зміщення)

Тоді обчислюємо, враховуючи ортогональність векторів :

І нарешті враховуємо зв'язок тензора Рімана через вектори повної кривини:

Підставляємо обчислені вирази в другу варіацію:

Де введено позначення зовнішнього добутку векторів — бівектора, або орієнтованої площадки, побудованої на двох векторах:

Обговорення формул варіацій геодезичної лінії[ред.ред. код]

В формулу (9) для першої варіації входить скалярний добуток геодезичної кривини на варіацію координати. Якщо поблизу геодезичної лінії провести хвилясту лінію, близьку до синусоїди з частотою , то для цієї хвилястої лінії матимемо приблизно таку геодезичну кривину: . У цьому випадку скалярний добуток буде від'ємним (в евклідовому просторі): , а перша варіація (9) відповідно додатня: . Це означає, що хвиляста лінія завжди довша за геодезичну. (Звичайно, в псевдоевклідовому просторі це не так, оскільки квадрат вектора може бути як додатнім, так і від'ємним. У загальній теорії відносності тіла рухаються по геодезичній не тому, що так коротше, а з іншої причини — за інтерференційним принципом Гюйгенса для хвиль, адже нульова перша варіація означає, що при русі двох хвиль близькими траєкторіями фаза хвиль збігається).

У формулі другої варіації (10) для геодезичної лінії перший доданок у підінтегральному виразі перетворюється на нуль. Другий доданок завжди додатній, як квадрат бівектора . Третій доданок може бути як додатнім, так і від'ємним. Зокрема, у плоскому просторі тензор Рімана дорівнює нулю , тому друга варіація завжди додатна, а отже будь-який відрізок геодезичної є локально найкоротшою лінією. Якщо ж третій доданок від'ємний, то може трапитись, що між точками можна провести іншу лінію, яка буде коротшою за першу. Наприклад, дуга великого кола на двовимірній сфері є геодезичною лінією: якщо така дуга коротша за , то вона буде найкоротшим шляхом між двома точками; якщо дуга дорівнює , то між двома точками (полюсами) можна провести багато однакових за довжиною геодезичних ліній (меридіанів); якщо ж довжина дуги великого кола більша , то кінцеві точки можна сполучити іншою дугою (близькою до геодезичної), яка матиме меншу довжину.

Взагалі можна довести, що на будь-якому многовиді досить короткий відрізок геодезичної завжди буде найкоротшим шляхом (на одиничній сфері «досить короткий» означає довжину менше π).

Рівняння геодезичної для довільного параметра[ред.ред. код]

Формула (6) справедлива для натурального параметра (тобто параметра довжини лінії), або для параметра, що пропорційний довжині лінії з одним і тим же коефіцієнтом пропорційності в усіх точках лінії. Але нам може знадобитися також і не натуральний параметр геодезичної лінії, наприклад якщо на двомірному многовиді (поверхні) задано координати і ми шукаємо рівняння геодезичної у формі .

Похідні по параметру будемо позначати крапкою вгорі. Маємо такий зв'язок з похідними по натуральному параметру:

Підставляючи ці похідні в формулу (6) і помножуючи на , одержимо:

Зауважимо, що формула (13), не розв'язана відносно других похідних, оскільки другі похідні координат входять в .

Геодезична лінія на поверхні [ред.ред. код]

Виберемо на поверхні, заданої рівнянням координати . Квадрат елемента довжини запишеться (частинні похідні позначаємо індексом внизу ):

Звідки метричний тензор:

Цей тензор має два власні вектори : і ортогональний до нього . Маємо:

де власне число

Для ортогонального вектора власне число дорівнює одиниці:

Визначник метричного тензора дорівнює добутку цих двох власних чисел:

Тепер ми можемо знайти символи Крістофеля:

Оскільки вектор градієнта буде власним вектором для оберненої матриці з власним числом , то легко знаходяться і символи Крістофеля з верхніми індексами:

Користуючись щойно написаною формулою, ми можемо записати формулу (13) геодезичної лінії, з параметром , помітивши, що:

Таким чином, маємо два рівняння:

Де введено позначення:

Обчислюючи можна показати, що рівняння (15) і (16) еквівалентні між собою, і еквівалентні простішому рівнянню, яке утворюється при відніманні від (16) рівняння (15), домноженого на похідну .

звідки

Примітки[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]