Польський інверсний запис

Постфіксна нотація ("Інверсний польський") Інфіксна нотація Префіксна нотація ("Польська")

Зворо́тний по́льський за́пис (зворотний бездужковий запис, постфіксна нотація, польський інверсний запис (ПОЛІЗ), англ. RPN — Reverse Polish Notation) — форма запису математичних виразів, в якій знаки операцій розташовано після операндів. Розташування знаків операцій перед операндами використовує польська нотація.

Історія розробки

Зворотій польський запис був розроблений австралійським філософом і фахівцем в області теорії обчислювальних машин Чарльзом Хембліном в середині 1950-х на основі польської нотації, яка була запропонована в 1920 польським математиком Яном Лукашевичем. Робота Хембліна була представлена ​​на конференції в червні 1957, і видана в 1957 і 1962.

Першими комп'ютерами, що підтримують зворотний польський запис були KDF9 від English Electric Company, який був випущений в 1963, і американський Burroughs B5000, випущений в тому ж 1963. Зворотна польська нотація застосовувалася в радянському інженерному калькуляторі Б3-19М, випущеному в 1976 році.Майже всі програмовані калькулятори в СРСР аж до кінця 1980-х років використовували ПОЛІЗ - він простіше реалізовувалася і дозвов обійтися в програмуванні обчислень меншим числом команд, в порівнянні із звичайною алгебраїчної нотацією, адже кількість програмної пам'яті в цих моделях завжди було критичним ресурсом.

Загальний вигляд

У загальному вигляді апис виглядає наступним чином:

• Запис набору операцій складається з послідовності операндів і знаків операцій. Операнди у виразі при письмовому записі розділяються пробілами.
• Вираз читається зліва направо. Коли у виразі зустрічається знак операції, виконується відповідна операція над двома останніми перед ним операндами в порядку їх запису. Результат операції замінює у вираженні послідовність її операндів і її знак, після чого вираз обчислюється далі за тим же правилом.
• Результатом обчислення виразу стає результат останньої обчисленої операції.

Приклади

Вираз	Традиційна (інфіксна) нотація	Зворотна польська (постфіксна) нотація
a + b × c	a + b*c	a b c * +
(a + b) × (c + d)	(a + b) * (c + d)	a b + c d + *
(a + t) × (b × (a + c))(c + d)	(a + t) * (b * (a + c))^(c + d)	a t + b a c + * c d + ^ *

Застосування

Зворотний польський запис є зручним для застосування в обчислювальних пристроях. Наприклад, для обчислення виразу

a + b

слід виконати такі дії:

• обчислити a
• обчислити b
• скласти результати

Саме така послідовність і задається польським інверсним записом:

a b +

Завдяки цьому ПОЛІЗ здобув досить широке розповсюдження в інженерних мікрокалькуляторах та мікрокомп'ютерах. Зокрема, такі калькулятори виробляли фірми Hewlett-Packard (HP 9100A), Texas Instruments. Практично всі програмовані калькулятори, що вироблялися в СРСР (Б3-34, MK-52, MK-61 та інші) застосовували зворотну польську нотацію.

Комп'ютерні програми зазвичай під час аналізу формул перетворюють їх на послідовність інструкцій у ПОЛІЗ, і саме в такому порядку вони виконуються.

На основі постфіксної нотації побудовано мову програмування Forth, також вона безпосередньо застосовується у PostScript.

Стековою машиною називається алгоритм, який проводить обчислення за зворотною польською нотацією^{[джерело?]}. Прикладом використання стекової машини є програма UNIX dc.

Алгоритм для обчислення значення виразу

Для всіх символів виконуємо такі дії:

• Якщо А_і число, то вкласти його у стек;
• Якщо А_і оператор, то:
  • Витягуємо зі стека два числа;
  • Виконуємо дію із числами і результат вкладаємо в стек;
• Якщо А_і є функцією то:
  • Витягуємо зі стека одне число;
  • Визначаємо значення функції із відповідним аргументом та поміщаємо результат у стек;
• В кінці роботи в стеку знаходитиметься результат виразу.

Приклад

Маємо вираз: 12 + 2 * ( ( 3 * 4 ) + ( 10 / 5 ) )

Вираз у польському інверсному записі: 12 2 3 4 * 10 5 / + * +
Порядок дій над ним буде такий:

Крок	Елемент	Стек
1	12	12
2	2	2 12
3	3	3 2 12
4	4	4 3 2 12
5	*	12 2 12
6	10	10 12 2 12
7	5	5 10 12 2 12
8	/	2 12 2 12
9	+	14 2 12
10	*	28 12
11	+	40

Алгоритм для перетворення звичайного запису в бездужковий

• Поки ще є символи для зчитування:

• Читаємо наступний символ;
• Якщо символ є числом або постфіксною функцією (наприклад, ! — факторіал), то додаємо до вихідного рядка;
• Якщо символ є префіксною функцією (наприклад, sin — синус), поміщаємо його в стек;
• Якщо символ є '(', поміщаємо його в стек;
• Якщо символ є ')', то:

До тих пір, поки верхнім елементом стека не стане відкриваюча дужка, виштовхуємо елементи зі стека у вихідний рядок. При цьому відкриваюча дужка видаляється зі стека, але у вихідний рядок не додається. Якщо після цього кроку на вершині стека виявляється символ функції, виштовхуємо його у вихідний рядок. Якщо стек закінчився раніше, ніж ми зустріли відкриваючу дужку, це означає, що у виразі або неправильно поставлений розділовий знак, або неузгодженні дужки.

• Якщо символ є бінарною операцією, тоді:

1) поки на вершині стека префіксна функція…

… АБО операція на вершині стека має більший пріоритет ніж o1

… АБО операція на вершині стека ліво-асоціативна з пріоритетом як у o1

… виштовхуємо верхній елемент стека у вихідний рядок;

2) поміщаємо операцію o1 у стек;

• Коли вхідний рядок закінчився, виштовхуємо всі символи зі стека у вихідний рядок. У стеку повинні були залишитись тільки символи операцій; якщо це не так, значить у виразі неузгоджені дужки.

Приклад

Маємо рядок «3 +4 * 2 / (1-5) ^ 2». Потрібно перевести його до польського запису

Читаємо «3»
Додаємо «3» до виходу
 Вихід: 3

Читаємо «+»
Вставляємо «+» в стек
 Вихід: 3
 Стек: +

Читаємо «4»
Додаємо «4» до виходу
 Вихід: 3 4
 Стек: +

Читаємо «*»
Вставляємо «*» в стек
 Вихід: 3 4
 Стек: + *

Читаємо «2»
Додаємо «2» до виходу
 Вихід: 3 4 2
 Стек: + *

Читаємо «/»
Видаляємо «*» зі стека і додаємо до виходу, вставляємо «/» в стек
 Вихід: 3 4 2 *
 Стек: + /

Читаємо «(»
Вставляємо «(» в стек
 Вихід: 3 4 2 *
 Стек: + / (

Читаємо «1»
Додаємо «1», до виходу
 Вихід: 3 4 2 * 1
 Стек: + / (

Читаємо «-»
Вставляємо «-» в стек
 Вихід: 3 4 2 * 1
 Стек: + / (-

Читаємо «5»
Додаємо «5» до виходу
 Вихід: 3 4 2 * 1 5
 Стек: + / (- 

Читаємо «)»
Видаляємо «-» зі стека і додаємо до виходу, видаляємо «(» зі стека
 Вихід: 3 4 2 * 1 5 -
 Стек: + / 

Читаємо «^»
Додаємо «^» в стек
 Вихід: 3 4 2 * 1 5 -
 Стек: + / ^

Читаємо «2»
Додаємо «2» до виходу
 Вихід: 3 4 2 * 1 5 - 2
 Стек: + / ^

Кінець виразу
Витягуємо усі елементи зі стека і додаємо до виходу
 Вихід: 3 4 2 * 1 5 - 2 ^ / +

Див. також

• Стекова мова програмування