Полюс і поляр

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Лінія поляра q до точки Q відносно кола радіуса r з центром у точці O. Точка P є точкою інверсії до Q; поляр - це лінія, яка проходить через P і перпендикулярна лінії, яка проходить через O, P і Q.

У геометрії, полюс і поляр є відповідно точка та лінія, які мають унікальні взаємовідносини відносно певного конічного перетину.

Для певного кола, взаємовідносини у колі означають трансформацію кожної точки на площині у її полярну лінію та кожної лінії на площині у її полюс.

Характеристики[ред. | ред. код]

Полюси та поляри мають декілька корисних характеристик:

  • Якщо точка P лежить на лінії l, тоді полюс L лінії l лежить на полярі p точки P.
  • Якщо точка P рухається вздовж лінії l, її поляр p обертається довкола полюса L лінії l.
  • Якщо дві дотичні лінії можуть бути проведені з полюса до конічного перетину, тоді його поляр перетинає обидві дотичні точки.
  • Якщо точка лежить на конічному перетині, її поляр є дотичним через цю точку до конічного перетину.
  • Якщо точка P лежить на своїй власній полярній лінії, тоді P розташований на конічному перетину.
  • Кожна лінія має, відносно недегенерованого конічного перетину, лише один поляр.

Особливий випадок кіл[ред. | ред. код]

Полюс лінії L у колі C є точка P, яка є інверсією у колі C точки Q на L, яка найближча до центру кола. Протилежно, полярна лінія (або поляр) точки P у колі C є лінією L, такою, що її найближча точка Q до центра кола є інверсією точки P у C.

Якщо точка A лежить на полярі q іншої точки Q, тоді Q лежить на полярі a точки A. Більш загально, поляри всіх точок на лінії q повинні проходити через її полюс Q.

Відносини між полярами і полюсами є взаємними. Тобто, якщо точка A лежить на полярі q іншої точки Q, тоді Q повинна лежати на полярі a точки A. Дві полярні лінії a і q не обов'язково є паралельними.

Є інший опис полярної лінії точки P у випадку, коли вона лежить за межами кола C. У цьому випадку, є дві лінії через P , які є дотичними до кола, і поляр точки P є лінією, яка поєднує дві точки дотику. Це показує, що поляр та полюс є концепціями площини у проєктивній геометрії і генералізуються з будь-яким несингулярним конічним перетином у in the place of the circle C.

Взаємність і проєктивна дуальність[ред. | ред. код]

Ілюстрація дуальності між точками та лініями, та подвійного значення "інцидентність". Якщо дві лінії a і k проходять через одну точку Q, тоді поляр q точки Q з'єднує полюси A і K ліній a і k, відповідно.

Концепції полюса та його полярної лінії отримали розвиток у проєктивній геометрії. Наприклад, полярна лінія може розглядатись як набір проєктивних гармонійних сполучених точок для заданої точки (полюса) по відношенню до конічного перетину. Операція заміни кожної точки її полярною лінією на навпаки відома як полярність.

Полярність - це кореляція, яка також є інволюцією.

Загальні конічні перетини[ред. | ред. код]

Лінія p є поляром для точки P, l до L і m до M
p є полярною лінією до точки P ; m є полярною лінією до M

Концепції полюса, поляра і взаємності можуть бути узагальнені від кіл до інших конічних перетинів, якими є еліпс, гіпербола і парабола. Це узагальнення є можливим, оскільки конічні перетині є результатом взаємності кола у іншому колі, а пов'язані характеристики, такі як інцидентність та подвійне відношення, зберігаються при всіх проєктивних перетвореннях.

Розрахунок поляра до точки[ред. | ред. код]

Загальний конічний перетин можна виразити як рівняння другого ступеня у Декартовій системі координат (x, y) площини

де Axx, Axy, Ayy, Bx, By і C є константами, які визначають рівняння. Для такого конічного перетину, полярна лінія до заданої точки полюсу (ξ, η) визначається рівнянням

де D, E і F така само є константами, які залежать від координат полюсу (ξ, η)

Розрахунок полюса лінії[ред. | ред. код]

Полюс лінії , відносно недегенерованого конічного перетину

може бути розрахований двома кроками.

Спочатку розраховуються числа x, y і z з

Тепер полюс - це точка з координатами

Застосування[ред. | ред. код]

Полюси та поляри були визначені Ж. Жергонном[en] та є важливими для його рішення задачі Аполлонія.[1]

У площинній динаміці полюс є центром обертання, поляр - лінією сили дії, а конічний перетин є матрицею маса-інерція.[2] Це відношенню полюс-поляр використовується для визначення центру удару[en] площинного твердого тіла. Якщо полюс є центром обертання, тоді поляр є лінією удару як описано у площинному гвинтовому численні.

Див. також[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]

  • Johnson RA (1960). Advanced Euclidean Geometry: An Elementary treatise on the geometry of the Triangle and the Circle. New York: Dover Publications. с. 100–105. 
  • Coxeter HSM, Greitzer SL (1967). Geometry Revisited. Washington: MAA. с. 132–136, 150. ISBN 978-0-88385-619-2. 
  • Gray J J (2007). Worlds Out of Nothing: A Course in the history of Geometry in the 19th century. London: Springer Verlag. с. 21. ISBN 978-1-84628-632-2. 
  • Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. с. 43–45. LCCN 59014456.  The paperback version published by Dover Publications has the ISBN 978-0-486-41147-7.
  • Wells D (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. с. 190–191. ISBN 0-14-011813-6. 

Примітки[ред. | ред. код]

Посилання[ред. | ред. код]