Полюс і поляра

Поляра q до точки Q відносно кола радіуса r з центром у точці O. Точка P є точкою інверсії до Q; поляра — це пряма, яка проходить через P і перпендикулярна до прямої, яка проходить через O, P і Q.

У геометрії, полюс і поляра є відповідно точка та пряма, які перебувають в унікальному відношенні відносно певного конічного перетину.

Для певного кола, взаємність у колі означає перетворення кожної точки на площині у її поляру та кожної прямої на площині у її полюс.

Характеристики

Полюси та поляри мають декілька корисних характеристик:

• Якщо точка P лежить на прямій l, тоді полюс L прямої l лежить на полярі p точки P.
• Якщо точка P рухається вздовж прямої l, її поляра p обертається навколо полюса L прямої l.
• Якщо з полюса до конічного перетину можна провести дві дотичні прямі, тоді його поляра проходить через обидві точки дотику.
• Якщо точка лежить на конічному перетині, її поляра є дотичною в цій точці до конічного перетину.
• Якщо точка P лежить на власній полярі, то P розташована на конічному перетині.
• Кожна лінія має, відносно невиродженого конічного перетину, лише один полюс.

Окремі випадки кіл

Полюсом прямої L у колі C є точка P, яка є інверсією у колі C точки Q на L, яка найближча до центру кола. І навпаки, полярна лінія (або поляра) точки P відносно кола C є лінією L, такою, що її найближча до центра кола точка Q є інверсією точки P у C.

Якщо точка A лежить на полярі q іншої точки Q, тоді Q лежить на полярі a точки A. Більш загально, поляри всіх точок на лінії q повинні проходити через її полюс Q.

Відношення між полярами і полюсами є взаємними. Тобто, якщо точка A лежить на полярі q іншої точки Q, тоді Q повинна лежати на полярі a точки A. Дві полярні лінії a і q не обов'язково є паралельними.

Є інший опис полярної лінії точки P у випадку, коли вона лежить за межами кола C. У цьому випадку, через P проходять дві прямі, які є дотичними до кола, і поляра точки P є лінією, що проходить через дві точки дотику. Це показує, що поляра та полюс є концепціями площини у проєктивній геометрії і узагальнюються на будь-який несингулярний конічний перетин замість кола C.

Взаємність і проєктивна дуальність

Ілюстрація дуальності між точками та лініями, та подвійного значення «інцидентність». Якщо дві лінії a і k проходять через одну точку Q, тоді поляра q точки Q з'єднує полюси A і K ліній a і k, відповідно.

Концепції полюса та його полярної лінії отримали розвиток у проєктивній геометрії. Наприклад, полярна лінія може розглядатись як набір проєктивних гармонійних сполучених точок для заданої точки (полюса) відносно конічного перетину. Операція заміни кожної точки її полярною лінією і навпаки відома як полярність.

Полярність — це кореляція, яка також є інволюцією.

Загальні конічні перетини

Лінія p є полярою для точки P, l до L і m до M

p є полярною лінією до точки P ; m є полярною лінією до M

Концепції полюса, поляри і взаємність можна узагальнити з кіл на інші конічні перетини: еліпс, гіперболу й параболу. Це узагальнення можливе, оскільки конічні перетини є результатом взаємності кола в іншому колі, а пов'язані характеристики, такі як інцидентність та подвійне відношення, зберігаються за всіх проєктивних перетворень.

Розрахунок поляри до точки

Конічний перетин можна задати як рівняння другого ступеня у декартовій системі координат (x, y) площини

$A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0\,$

де A_xx, A_xy, A_yy, B_x, B_y і C є сталими, які визначають рівняння. Для такого конічного перетину, полярна лінія до заданої точки (полюса) (ξ, η) визначається рівнянням

$Dx+Ey+F=0\,$

де D, E і F така само є сталими, які залежать від координат полюса (ξ, η)

${\begin{aligned}D&=A_{xx}\xi +A_{xy}\eta +B_{x}\\E&=A_{xy}\xi +A_{yy}\eta +B_{y}\\F&=B_{x}\xi +B_{y}\eta +C\,\end{aligned}}$

Розрахунок полюса прямої

Полюс прямої $Dx+Ey+F=0$, відносно невиродженого конічного перетину

$A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0\,$

можна розрахувати за два кроки.

Спочатку розраховуються числа x, y і z з

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{xx}&A_{xy}&B_{x}\\A_{xy}&A_{yy}&B_{y}\\B_{x}&B_{y}&C\end{bmatrix}}^{-1}\cdot {\begin{bmatrix}D\\E\\F\end{bmatrix}}$

Тоді полюс — це точка з координатами $\left({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}}\right)$

Застосування

Полюси та поляри визначив Ж. Жергонн та використав для розв'язання задачі Аполлонія.

У площинній динаміці полюс є центром обертання, поляра — лінією дії сили, а конічний перетин є матрицею маса-інерція. Це відношення полюс-поляра використовується для визначення центру удару плоского твердого тіла. Якщо полюс є центром обертання, тоді поляра є лінією удару як описано в площинному гвинтовому численні.

Див. також

• Дуальний многокутник
• Дуальний многогранник
• Полярна крива
• Проєктивна геометрія
• Гармонійна четвірка

Джерела

• Johnson RA (1960). Advanced Euclidean Geometry: An Elementary treatise on the geometry of the Triangle and the Circle. New York: Dover Publications. с. 100—105.
• Coxeter HSM, Greitzer SL (1967). Geometry Revisited. Washington: MAA. с. 132–136, 150. ISBN 978-0-88385-619-2.
• Gray J J (2007). Worlds Out of Nothing: A Course in the history of Geometry in the 19th century. London: Springer Verlag. с. 21. ISBN 978-1-84628-632-2.
• Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. с. 43—45. LCCN 59014456. The paperback version published by Dover Publications has the ISBN 978-0-486-41147-7.
• Wells D (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. с. 190—191. ISBN 0-14-011813-6.

Посилання

• Інтерактивна анімація з численними полярами і полюсами на Cut-the-Knot
• Інтерактивна анімація з одним полюсом та його полярою
• Interactive 3D with coloured multiple poles/polars — open source
• Weisstein, Eric W. Поляра(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Взаємність(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Інверсійний полюс(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Reciprocal curve(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Tutorial at Math-abundance