Гіпербола (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Гіпербола є відкритою кривою з двома гілками, що утворюється внаслідок перетину конічної поверхні площиною.

Гіпербола (грец. ὑπερβολή) — крива другого порядку з ексцентриситетом більшим за одиницю.

Визначення[ред.ред. код]

Гіпербола є невиродженою кривою другого порядку, яка задається рівнянням:[1]

де та  — параметри. Таке рівняння називається канонічним рівнянням гіперболи.[2]

Нехай канонічне рівняння кривої другого порядку шляхом переносу центру координат перетворено у вигляд:

В цьому випадку крива проходить через початок координат нової системи; вісь абсцис є віссю симетрії кривої. Це рівняння відображає той факт, що невироджена крива другого порядку є геометричним місцем точок, відношення відстаней яких (ексцентриситет) від заданої точки (фокуса) та від заданої прямої (директриса) незмінна. Крива є гіперболою, якщо .[1] Тобто, гіпербола є геометричним місцем точок, абсолютна величина різниці відстаней яких від фокусів дорівнює (фокальна властивість гіперболи). Директоріальна властивість гіперболи полягає в тому, що гіпербола є геометричним місцем точок, відношення відстаней яких від фокуса до однойменної директриси дорівнює .[2]

Властивості[ред.ред. код]

Якщо в канонічному рівнянні гіперболи , то гіпербола називається рівнобічною. В координатах

рівняння рівнобічної гіперболи

матиме вигляд:

звідки випливає, що по відношенню до координат та рівнобічна гіпербола являє собою графік звортньо-пропорційної залежності. В координатах та маємо такий саме графік обернений на кут .[2]

При (а також при ) графік зворотньо-пропорційної залежності щільніше притіскається до осі абсцис (відповідно, до осі ординат ), оскільки ці осі є асимптотами (двобічними) графіку. В канонічних координатах , ці асимптоти є бісектрисами та координатних кутів.[2]

З гіперболою пов'язані такі числові властивості:

  • число , що зветься дійсною напіввіссю;
  • число , що зветься уявною напіввіссю;
  • число , що зветься лінійним ексцентриситетом;
  • число , що зветься фокусною відстаню;
  • число , що називається числовим ексцентриситетом;
  • число , що зветься фокальним параметром;
  • вісь абсцис, що зветься дійсною (або фокальною) віссю;
  • вісь ординат, що зветься уявною віссю;
  • точка , що зветься центром;
  • точки , що звуться вершинами;
  • точки , що звуться фокусами;
  • прямі , що звуться директрисами.

Посилання[ред.ред. код]

  1. а б Корн Г., Корн Т. (1984). 2.4-8. Справочник по математике для научних работников и инженеров (рос.) (вид. друге). Москва: Наука. 
  2. а б в г Постников М. М. (1979). Аналитическая геометрия. «Наука». 

Дивіться також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Постников М. М. (1979). Аналитическая геометрия. «Наука».