Прямий круговий циліндр

Прямий круговий циліндр.

Прямий круговий циліндр — це циліндр, твірні якого перпендикулярні до основ. Таким чином, у прямому круговому циліндрі твірна і висота мають однакові розміри. Його також називають циліндром обертання, оскільки його можна отримати обертанням прямокутника зі сторінами $r$ і $g$ навколо однієї з його сторін. Закріпивши $g$ як сторону, навколо якої відбувається обертання, ми отримуємо, що сторона $r$, перпендикулярна до $g$, буде радіусом циліндра.

Окрім прямого кругового циліндра, існує також похилий круговий циліндр, який характеризується відсутністю твірних, перпендикулярних до основ.

Прикладами об’єктів, які мають форму правильного круглого циліндра, є деякі банки та свічки.

Елементи прямого кругового циліндра

Основи: два паралельних і рівних кола;

Вісь: пряма, визначена двома центрами основ циліндра;

Висота: відстань між двома площинами основ циліндра;

Твірні (гератриси): відрізки, що паралельні осі і закінчуються в точках кіл основ.

Бічна площа та площа поверхні

Зображення циліндра та розгортка його бічної поверхні.

Бічна поверхня прямого циліндра складається з твірних. Її площу можна отримати шляхом добутку довжини кола основи на висоту циліндра. Отже, площа бічної поверхні визначається як:

• ${\textstyle S_{0}=2\pi rh}$.

• $S_{0}\,$ – площа бічної поверхні циліндра;
• $\pi \,$ становить приблизно 3,14;
• $r\,$ – відстань між бічною поверхнею циліндра та віссю, тобто значення радіуса основи;
• $h\,$ – висота циліндра;
• $2\pi r$ — довжина кола основи, оскільки $\pi ={\frac {C}{2r}}$, тобто, $C=2\pi r$.

Зауважте, що у випадку прямого кругового циліндра висота й твірна мають однакові розміри, тому бічна площа також може бути задана за формулою:

• $S_{0}=2\pi rg$.

Площа основи циліндра дорівнює площі круга (в цьому випадку ми покладемо, що круг має радіус $r$ ):

• $S_{1}=\pi r^{2}$.

Щоб обчислити загальну площу прямого кругового циліндра, потрібно просто додати площу бічної сторони до площі двох основ:

• $S=S_{0}+2\cdot S_{1}$.

Заміна $S_{0}=2\pi rh$ і $S_{1}=\pi r^{2}$, ми маємо:

• $S=2\pi rh+2\pi r^{2}$ $\Rightarrow S=2\pi r(h+r)$

або навіть

• $S=2\pi r(g+r)$.

Об'єм

Ілюстрація циліндра та призми з висотою $h$. Зверніть увагу, що площа основи кожного тіла дорівнює $S$.

Відповідно да принципа Кавальєрі, який визначає, що якщо два тіла однакової висоти з конгруентними площами основи розташованими на одній площині перетинає будь-яка інша площина, паралельна цій площині, вона утворює як перерізи два багатокутники з однаковими площами, тому об’єми двох тіл будуть однаковими. Використовуючи цей факт, можна визначити об’єм циліндра.

Об’єм циліндра можна отримати так само, як об’єм призми з тією ж висотою і такою ж площею основи. Тому просто помножте площу основи на висоту:

• $V=S\cdot h$.

Оскільки площа круга радіуса $r\,$, який є основою циліндра, задається формулою $S=\pi r^{2}$, то з цього випливає, що:

• $V=\pi r^{2}h$

або навіть

• $V=\pi r^{2}g$ .

Рівносторонній циліндр

Ілюстрація циліндра, описаного навколо сфери радіуса $r$. Зверніть увагу, що циліндр рівносторонній.

Рівносторонній циліндр – це правильний круговий циліндр, у якого діаметр основи дорівнює висоті (твірній).

Тоді, вважаючи, що радіус основи рівностороннього циліндра дорівнює $r\,$, маємо, що діаметр основи цього циліндра дорівнює $2r\,$ а його висота становить $2r\,$.

Його бічну площу можна отримати, замінивши значення висоти на $2r$:

• $S_{0}=2\pi r\cdot 2r$$\Rightarrow S_{0}=4\pi r^{2}$.

Аналогічним чином можна отримати результат для площі всієї поверхні:

• $S=2\pi r(h+r)$$\Rightarrow S=2\pi r(2r+r)$$\Rightarrow S=2\pi r\cdot 3r$$\Rightarrow S=6\pi r^{2}$.

Для рівностороннього циліндра можна отримати більш просту формулу для обчислення об’єму. Просто замініть висоту на подвоєний радіус у формулі об’єму прямого кругового циліндра:

• $V=\pi r^{2}\cdot h$ $\Rightarrow V=\pi r^{2}\cdot 2r$ $\Rightarrow V=2\pi r^{3}$.

Осьовий переріз

Осьовий переріз – це перетин площини, що містить вісь циліндра, і циліндра.

У випадку прямого кругового циліндра осьовий переріз є прямокутником, оскільки твірна перпендикулярна до основи. Рівносторонній циліндр має квадратний осьовий переріз, оскільки його висота дорівнює діаметру основи .

Див. також

• Циліндр
• Геометрія
• Стереометрія

Бібліографія

• Balestri, Rodrigo (2016). Matemática: interação e tecnologia (in Portuguese) (2 ed.). São Paulo: Leya.
• Conexões com a matemática (in Portuguese) (1 ed.). São Paulo: Moderna. 2010.
• Dolce, Osvaldo; Pompeo, José Nicolau (2013). Fundamentos da matemática elementar 9: geometria plana (in Portuguese) (9 ed.). São Paulo: Atual.
• Dolce, Osvaldo; Pompeo, José Nicolau (2005). Fundamentos da matemática elementar, 10: geometria espacial, posição e métrica (in Portuguese). São Paulo: Atual.
• Giovanni, José Ruy; Giovanni Jr., José Ruy; Bonjorno, José Roberto (2011). Matemática fundamental: uma nova abordagem (in Portuguese). São Paulo: FTD.
• Paiva, Manoel (2004). Matemática (in Portuguese) (1 ed.). São Paulo: Moderna.