Призма (математика)

Правильна призма з шестикутною основою

При́зма (дав.-гр. πρίσμα — «відпиляне»; від πρίζω — «пиляю») — стереометрична фігура, многогранник (призматоїд), у якого дві грані — рівні n-кутники, розташовані в паралельних площинах, а решта n граней — паралелограми. Ці паралелограми називаються бічними гранями призми, а інші два n-кутники називаються її основами.

Многокутник, що лежить в основі, визначає назву призми: трикутник — трикутна призма, чотирикутник — чотирикутна; п'ятикутник — п'ятикутна (пентапризма) і т. д.

Призма є частковим випадком циліндра в загальному сенсі (некругового).

Призма називається прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основи. Інші призми — похилі.

Призма називається правильною, якщо вона пряма і її основи — правильні многокутники.

Висота призми — відстань між площинами її основ.

Види призм

Призма, основою якої є паралелограм, називається паралелепіпедом.

Зрізана трикутна призма

Пряма призма — це призма, у якої бічні ребра перпендикулярні до площини основи, звідки випливає, що всі бічні грані є прямокутниками. Інші призми називаються похилими.

Пряма прямокутна призма називається прямокутним паралелепіпедом. Символ Шлефлі такої призми— { }×{ }×{ }.

Правильна призма — це пряма призма, основою якої є правильний многокутник. Бічні грані правильної призми — рівні прямокутники.

Правильна призма, бічні грані якої є квадратами (висота якої дорівнює стороні основи), є напівправильним многогранником. Символ Шлефлі такої призми — t{2,p}.

Прямі призми з правильними основами й однаковими довжинами ребер утворюють одну з двох нескінченних послідовностей напівправильних многогранників, іншу послідовність утворюють антипризми

Зрізана призма — це призма з непаралельними основами.

Елементи призми

Назва	Визначення	Позначення на кресленні	Креслення
Основи	Дві грані, є конгруентними многокутниками, що лежать у паралельних одна одній площинах.	$ABCDE$, $KLMNP$
Бічні грані	Усі грані, крім основ. Кожна бічна грань обов'язково є паралелограмом.	$ABLK$, $BCML$, $CDNM$, $DEPN$, $EAKP$
Бічна поверхня	Об'єднання бічних граней.
Повна поверхня	Об'єднання основ і бічної поверхні.
Бічні ребра	Спільні сторони бічних граней.	$AK$, $BL$, $CM$, $DN$, $EP$
Висота	Відрізок, що з'єднує площини, у яких лежать основи призми і перпендикулярний до цих площин.	$KR$
Діагональ	Відрізок, що з'єднує дві вершини призми, які не належать одній грані.	$BP$
Діагональна площина	Площина, що проходить через бічне ребро призми і діагональ основи.	$EBP$
Діагональний переріз	Перетин призми і діагональної площини. В перерізі утворюється паралелограм, зокрема його часткові випадки — ромб, прямокутник, квадрат.	$EBLP$
Перпендикулярний (ортогональний) переріз	Переріз призми і площини, перпендикулярної до її бічного ребра.

Властивості призми

• Основи призми є рівними многокутниками.
• Бічні грані призми є паралелограмами.
• Бічні ребра призми паралельні і рівні.
• Об'єм призми дорівнює добутку її висоти на площу основи:

$V=S\cdot h$

• Об'єм призми з правильною n-кутною основою дорівнює

$V={\frac {n}{4}}hs^{2}\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{n}}$ (тут s — довжина сторони многокутника).

• Площа повної поверхні призми дорівнює сумі площі її бічної поверхні і подвоєної площі основи.
• Площа бічної поверхні довільної призми $S=P\cdot l$, де $P$ — периметр перпендикулярного перерізу, $l$ — довжина бічного ребра.
• Площа бічної поверхні прямої призми $S=P\cdot h$, де $P$ — периметр основи призми, $h$ — висота призми.
• Площа бічної поверхні прямої призми з правильною n-кутною основою дорівнює

$A={\frac {n}{2}}s^{2}\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{n}}+nsh.$

• Перпендикулярний переріз перпендикулярний до всіх бічних ребер призми.
• Кути перпендикулярного перерізу — це лінійні кути двогранних кутів при відповідних бічних ребрах.
• Перпендикулярний переріз перпендикулярний до всіх бічних граней.
• Двоїстим многогранником прямої призми є біпіраміда.

Діаграми Шлегеля

Трикутна призма

4-кутна призма

5-кутна призма

6-кутна призма

7-кутна призма

8-кутна призма

Симетрія

Групою симетрії прямої n-кутної призми з правильною основою є група D_nh порядку 4n, за винятком куба, який має групу симетрії O_h порядку 48, що містить три версії D_4h в якості підгруп. Групою обертань є D_n 2n, за винятком випадку куба, для якого групою обертань є група O порядку 24, що має три версії D₄ в якості підгруп.

Група симетрії D_nh включає центральну симетрію в тому і тільки в тому випадку, коли n парне.

Об'єм

Об'єм призми дорівнює добутку площі основи на висоту. Таким чином об'єм дорівнює:

$V=S\cdot h$

де S — площа основи, h — висота. Об'єм правильної призми в основі якої є правильний n-кутник дорівнює:

$V={\frac {n}{4}}hs^{2}\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}.$

Площа поверхні

Площа бічної поверхні призми дорівнює $S=PH$, де P — периметр основи, H — висота.

Площа поверхні призми дорівнює $S=2S+PH$, де S — площа основи, h — висота, P — периметр основи.

Площа поверхні правильної призми в основі якої є правильний n-кутник дорівнює:

$A={\frac {n}{2}}S^{2}\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}+nSh.$

Призматичні многогранники

Призматичний многогранник — це узагальнення призми в просторах розмірності 4 і вище. n-вимірний призматичний многогранник конструюється з двох (n − 1)-вимірних многогранників, перенесених у наступну розмірність.

Елементи призматичного n-вимірного многогранника подвоюються з елементів (n − 1)-вимірного многогранника, потім створюються нові елементи наступного рівня.

Візьмемо n-вимірний многогранник з елементами $f_{i}$ (i-вимірна грань, i = 0, …, n). Призматичний ($n+1$)-вимірний многогранник буде мати $2f_{i}+f_{-1}$ елементів розмірності i (при $f_{-1}=0$, $f_{n}=1$).

За розмірностями:

• Беремо многокутник з n вершинами і n сторонами. Отримаємо призму з 2n вершинами, 3n ребрами і $2+n$ гранями.
• Беремо многогранник з v вершинами, e ребрами і f гранями. Отримуємо (4-вимірну) призму з 2v вершинами, $2e+v$ ребрами, $2f+e$ гранями і $2+f$ комірками.
• Беремо 4-вимірний многогранник з v вершинами, e ребрами, f гранями і c комірками. Отримуємо (5-вимірну) призму з 2v вершинами, $2e+v$ ребрами, $2f+e$ (2-вимірними) гранями, $2c+f$ комірками $2+c$ гіперкомірками.

Однорідні призматичні многогранники

Правильний n-многогранник, представлений символом Шлефлі {p, q, ..., t}, може утворити однорідний призматичний многогранник розмірності (n + 1), представлений прямим добутком двох символів Шлефлі: {p, q, ..., t}×{}.

За розмірностями:

• Призма з 0-вимірного многогранника — це відрізок, що подається порожнім символом Шлефлі {}.
  • 
• Призма з 1-вимірного многогранника — це прямокутник, отриманий з двох відрізків. Ця призма подається як добуток символів Шлефлі {}×{}. Якщо призма є квадратом, запис можна скоротити: {}×{} = {4}.
  • Приклад: Квадрат, {}×{}, два паралельні відрізки, з'єднані двома іншими відрізками, сторонами.
• багатокутна призма — це 3-вимірна призма, отримана з двох многокутників (один отриманий паралельним перенесенням іншого), які пов'язані прямокутниками. З правильного многокутника {p} можна отримати однорідну n-кутну призму, подану добутком {p}×{}. Якщо p = 4, призма стає кубом: {4}×{} = {4, 3}.
  • Приклад: п'ятикутна призма, {5}×{}, два паралельні п'ятикутники пов'язані п'ятьма прямокутними сторонами.
• 4-вимірна призма, отримана з двох многогранників (один отримано паралельним перенесенням іншого), зв'язаних 3-вимірними призматичними комірками. З правильного многогранника {p, q} можна отримати однорідну 4-вимірну призму, подану добутком {p, q}×{}. Якщо многогранник є кубом і сторони призми теж куби, призма перетворюється на тесеракт: {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.
  • Приклад: додекаедральна призма, {5, 3}×{}, два паралельні додекаедри, сполучені 12 п'ятикутними призмами (сторонами).
• …

Призматичні многогранники більш високих розмірностей також існують як прямі добутки двох будь-яких многогранників. Розмірність призматичного многогранника дорівнює добутку розмірностей елементів добутку. Перший приклад такого добутку існує в 4-вимірному просторі і називається дуопризмами, які отримуються, як добуток двох многокутників. Правильні дуопризми подаються символом {p}×{q}.

Скручена призма і антипризма

Скручена призма — це неопуклий призматичний многогранник, отриманий з однорідної q-кутної призми шляхом поділу бічних граней діагоналлю і обертання верхньої основи, зазвичай на кут ${\frac {\pi }{q}}$ радіан (${\frac {180}{q}}$ градусів), в напрямку, за якого сторони стають увігнутими.

Скручена призма не може бути розбита на тетраедри без уведення нових вершин. Найпростіший приклад з трикутними основами називається многогранником Шенхардта.

Скручена призма топологічно ідентична антипризмі, але має половину симетрій: D_n, [n,2]⁺, порядку 2n. Цю призму можна розглядати як опуклу антипризму, у якої видалено тетраедри між парами трикутників.

Трикутна	Чотирикутні		12-кутна
Многогранник Шенхардта	Скручена квадратна антипризма	Квадратна антипризма	Скручена дванадцятикутна антипризма

Пов'язані многогранники і мозаїки

Родина правильних призм

Многокутник
Мозаїка
Конфігурація	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	17.4.4	∞.4.4

Родина опуклих куполів

n	2	3	4	5	6
Назва	{2}	t{2}	{3}	t{3}	{4}	t{4}	{5}	t{5}	{6}	t{6}
Купол	Діагональний купол	Трискатний купол	Чотирискатний купол	П’ятискатний купол	Шестискатний купол (плоский)
Пов'язані однорідні многогранники	Трикутна призма	Кубооктаедр	Ромбокубооктаедр	Ромбоікосододекаедр	Ромботришестикутна мозаїка

Симетрії

Призми топологічно є частиною послідовності однорідних зрізаних многогранників з конфігураціями вершин (3.2 n.2n) і [n,3].

Варіанти симетрії *n32 зрізаних мозаїк: 3.2n.2n
Симетрія *n32 [n,3]	Сферична				Евклідова	Компактна гіперболічна		Параком- пактна	Некомпактна гіперболічна
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]…	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]
Зрізані фігури
Конфігурація	3.4.4	3.6.6	3.8.8	3.10.10	3.12.12	3.14.14	3.16.16	3.∞.∞	3.24 i.24i	3.18 i.18i	3.12 i.12i
Розділені фігури
Конфігурація	V3.4.4	V3.6.6	V3.8.8	V3.10.10	V3.12.12	V3.14.14	V3.16.16	V3.∞.∞

Призми топологічно є частиною послідовності скошених многогранників з вершинними фігурами (3.4.n.4) і мозаїк на гіперболічній площині. Ці вершиннотранзитивні фігури мають (*n32) дзеркальну симетрію.

Варіанти симетрії *n42 розширених мозаїк: 3.4.n.4
Симетрія *n32 [n,3]	Сферична				Евклідова	Компактна гіперболічна		Паракомпактна
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]…	*∞32 [∞,3]
Фігура
Конфігурація	3.4.2.4	3.4.3.4	3.4.4.4	3.4.5.4	3.4.6.4	3.4.7.4	3.4.8.4	3.4.∞.4

З'єднання многогранників

Існує 4 однорідні з'єднання трикутних призм:

З’єднання чотирьох трикутних призм, з’єднання восьми трикутних призм, з’єднання десяти трикутних призм, з’єднання дванадцяти трикутних призм.

Стільники

Існує 9 однорідних стільників, що включають комірки у вигляді трикутних призм:

• гіроподовжений альтернований кубічний стільник,
• подовжений альтерований кубічний стільник,
• повернутий трикутний призматичний стільник,
• плосконосий квадратний призматичний стільник,
• трикутний призматичний стільник,
• трикутно-шестикутний призматичний стільник,
• зрізаний шестикутний призматичний стільник,
• ромботришестикутний призматичний стільник,
• плосконосий шестикутний призматичний стільник,
• подовжений трикутний призматичний стільник.

Пов'язані многогранники

Трикутна призма є першим многогранником в ряду напівправильних многогранників. Кожен наступний однорідний многогранник містить в якості вершинної фігури попередній многогранник. Торольд Госсет ідентифікував цю серію в 1900 як таку, що містить всі фасети правильних багатовимірних многогранників, всі симплекси і ортоплекси (правильні трикутники і квадрати для випадку трикутних призм). У нотації Коксетера трикутна призма задається символом −1₂₁.

k21 у просторі розмірністю n
Простір	Скінченний						Евклідів	Гіперболічний
En	3	4	5	6	7	8	9	10
Група Коксетера	E₃=A₂A₁	E₄=A₄	E₅=D₅	E₆	E₇|	E₈	E₉ = Ẽ₈ = E₈+	E₁₀ = T₈ = E₈++
Діаграма Коксетера
Симетрія	[3−1,2,1]	[30,2,1]	[31,2,1]	[32,2,1]	[33,2,1]	[34,2,1]	[35,2,1]	[36,2,1]
Порядок	12	120	192	51 840	2 903 040	696 729 600	∞
Граф							-	-
Позначення	−121	021	121	221	321	421	521	621

Чотиривимірний простір

Трикутна призма є коміркою у багатьох чотиривимірних однорідних 4-вимірних многогранниках, включно з:

тетраедральна призма	октаедральна призма	кубооктаедральна призма	ікосаедральна призма	ікосододекаедральна призма	зрізана додекаедральна призма
ромбоікосі- додекаедральна призма	ромбокуб- октаедральна призма	зрізана кубічна призма	плосконоса додекаедральна призма	n-кутна антипризматична призма
скошений 5-комірник	скошено-зрізаний 5-комірник	обструганий 5-комірник	струг-зрізаний 5-комірник	скошений тесеракт	скошено-зрізаний тесеракт	обструганий тесеракт	струг-зрізаний тесеракт
скошений 24-комірник	скошено-зрізаний 24-комірник	обструганий 24-комірник	струг-зрізаний 24-комірник	скошений 120-комірник	скошено-зрізаний 120-комірник	обструганий 120-комірник	струг-зрізаний 120-комірник

Див. також

• Призматоїд
• Антипризма
• Паралелепіпед
• Куб
• Циліндр
• Паралелограм
• Граф призми

Література

• William F. Kern, James R. Bland. Solid Mensuration with proofs. — 1938.
• Catherine A. Gorini. The facts on file: Geometry handbook. — New York : Infobase Publishing, 2003. — (Facts on file). — ISBN 0-8160-4875-4.
• Anthony Pugh. Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms // Polyhedra: A visual approach. — California : University of California Press Berkeley, 1976. — ISBN 0-520-03056-7.

Посилання

• Призма // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. — Львів, 2010. — С. 160. — ISBN 978-966-7407-83-4.
• Weisstein, Eric W. Призма(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• George Olshevsky. «Prismatic polytope». Glossary for Hyperspace.
• Nonconvex Prisms and Antiprisms
• Surface Area MATHguide
• Volume MATHguide
• Paper models of prisms and antiprisms Розгортки призм і антипризм
• Paper models of prisms and antiprisms Розгортки, створені системою Stella.
• Stella: Polyhedron Navigator: Програми для створення 3D- и 4D-зображень, наведених на цій сторінці.
• Гордєєва Є. П. Ч. 1 // Нарисна геометрія. Многогранники (правильні, неправильні та зірчасті) : навч. посіб. для студ. вищ. навч. закл / Є. П. Гордєєва, В. Л. Величко. — Луцьк : ЛДТУ, 2007. — 191 с. — ISBN ISBN 978-966-7667-70-2.