Призма (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Правильна призма з шестикутною основою

При́зма (дав.-гр. πρίσμα — «відпиляне»; від πρίζω — «пиляю») — стереометрична фігура, многогранник (призматоїд), у якого дві грані — рівні n-кутники, розташовані в паралельних площинах, а решта n граней — паралелограми. Ці паралелограми називаються бічними гранями призми, а інші два n-кутники називаються її основами.

Многокутник, що лежить в основі, визначає назву призми: трикутник — трикутна призма, чотирикутник — чотирикутна; п'ятикутник — п'ятикутна (пентапризма) і т. д.

Призма є частковим випадком циліндра в загальному сенсі (некругового).

Призма називається прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основи. Інші призми — похилі.

Призма називається правильною, якщо вона пряма і її основи — правильні многокутники.

Висота призми — відстань між площинами її основ.

Види призм[ред. | ред. код]

Призма, основою якої є паралелограм, називається паралелепіпедом.
Зрізана трикутна призма
Пряма призма — це призма, у якої бічні ребра перпендикулярні до площини основи, звідки випливає, що всі бічні грані є прямокутниками[1]. Інші призми називаються похилими.
Пряма прямокутна призма називається прямокутним паралелепіпедом. Символ Шлефлі такої призми— { }×{ }×{ }.
Правильна призма — це пряма призма, основою якої є правильний многокутник. Бічні грані правильної призми — рівні прямокутники.
Правильна призма, бічні грані якої є квадратами (висота якої дорівнює стороні основи), є напівправильним многогранником. Символ Шлефлі такої призми — t{2,p}.

Прямі призми з правильними основами й однаковими довжинами ребер утворюють одну з двох нескінченних послідовностей напівправильних многогранників, іншу послідовність утворюють антипризми

Зрізана призма — це призма з непаралельними основами[2].

Елементи призми[ред. | ред. код]

Назва Визначення Позначення на кресленні Креслення
Основи Дві грані, є конгруентними многокутниками, що лежать у паралельних одна одній площинах. ,
Призма
Призма
Бічні грані Усі грані, крім основ. Кожна бічна грань обов'язково є паралелограмом. , , , ,
Бічна поверхня Об'єднання бічних граней.
Повна поверхня Об'єднання основ і бічної поверхні.
Бічні ребра Спільні сторони бічних граней. , , , ,
Висота Відрізок, що з'єднує площини, у яких лежать основи призми і перпендикулярний до цих площин.
Діагональ Відрізок, що з'єднує дві вершини призми, які не належать одній грані.
Діагональна площина Площина, що проходить через бічне ребро призми і діагональ основи.
Діагональний переріз Перетин призми і діагональної площини. В перерізі утворюється паралелограм, зокрема його часткові випадки — ромб, прямокутник, квадрат.
Перпендикулярний (ортогональний) переріз Переріз призми і площини, перпендикулярної до її бічного ребра.

Властивості призми[ред. | ред. код]

  • Основи призми є рівними многокутниками.
  • Бічні грані призми є паралелограмами.
  • Бічні ребра призми паралельні і рівні.
  • Об'єм призми дорівнює добутку її висоти на площу основи:
  • Об'єм призми з правильною n-кутною основою дорівнює
(тут s — довжина сторони многокутника).
  • Площа повної поверхні призми дорівнює сумі площі її бічної поверхні і подвоєної площі основи.
  • Площа бічної поверхні довільної призми , де  — периметр перпендикулярного перерізу,  — довжина бічного ребра.
  • Площа бічної поверхні прямої призми , де  — периметр основи призми,  — висота призми.
  • Площа бічної поверхні прямої призми з правильною n-кутною основою дорівнює
  • Перпендикулярний переріз перпендикулярний до всіх бічних ребер призми.
  • Кути перпендикулярного перерізу — це лінійні кути двогранних кутів при відповідних бічних ребрах.
  • Перпендикулярний переріз перпендикулярний до всіх бічних граней.
  • Двоїстим многогранником прямої призми є біпіраміда.

Діаграми Шлегеля[ред. | ред. код]





Трикутна
призма




4-кутна
призма




5-кутна
призма




6-кутна
призма




7-кутна
призма




8-кутна
призма

Симетрія[ред. | ред. код]

Групою симетрії прямої n-кутної призми з правильною основою є група Dnh порядку 4n, за винятком куба, який має групу симетрії Oh[en] порядку 48, що містить три версії D4h в якості підгруп. Групою обертань[en] є Dn 2n, за винятком випадку куба, для якого групою обертань є група O[en] порядку 24, що має три версії D4 в якості підгруп.

Група симетрії Dnh включає центральну симетрію в тому і тільки в тому випадку, коли n парне.

Об'єм[ред. | ред. код]

Об'єм призми дорівнює добутку площі основи на висоту. Таким чином об'єм дорівнює:

де S — площа основи, h — висота. Об'єм правильної призми в основі якої є правильний n-кутник дорівнює:

Площа поверхні[ред. | ред. код]

Площа бічної поверхні призми дорівнює , де P — периметр основи, H — висота.

Площа поверхні призми дорівнює , де S — площа основи, h — висота, P — периметр основи.

Площа поверхні правильної призми в основі якої є правильний n-кутник дорівнює:

Призматичні многогранники[ред. | ред. код]

Призматичний многогранник — це узагальнення призми в просторах розмірності 4 і вище. n-вимірний призматичний многогранник конструюється з двох (n − 1)-вимірних многогранників, перенесених у наступну розмірність.

Елементи призматичного n-вимірного многогранника подвоюються з елементів (n − 1)-вимірного многогранника, потім створюються нові елементи наступного рівня.

Візьмемо n-вимірний многогранник з елементами (i-вимірна грань, i = 0, …, n). Призматичний ()-вимірний многогранник буде мати елементів розмірності i (при , ).

За розмірностями:

  • Беремо многокутник з n вершинами і n сторонами. Отримаємо призму з 2n вершинами, 3n ребрами і гранями.
  • Беремо многогранник з v вершинами, e ребрами і f гранями. Отримуємо (4-вимірну) призму з 2v вершинами, ребрами, гранями і комірками.
  • Беремо 4-вимірний многогранник з v вершинами, e ребрами, f гранями і c комірками. Отримуємо (5-вимірну) призму з 2v вершинами, ребрами, (2-вимірними) гранями, комірками гіперкомірками.

Однорідні призматичні многогранники[ред. | ред. код]

Правильний n-многогранник, представлений символом Шлефлі {p, q, ..., t}, може утворити однорідний призматичний многогранник розмірності (n + 1), представлений прямим добутком двох символів Шлефлі: {p, q, ..., t}×{}.

За розмірностями:

  • Призма з 0-вимірного многогранника — це відрізок, що подається порожнім символом Шлефлі {}.
  • Призма з 1-вимірного многогранника — це прямокутник, отриманий з двох відрізків. Ця призма подається як добуток символів Шлефлі {}×{}. Якщо призма є квадратом, запис можна скоротити: {}×{} = {4}.
    • Приклад: Квадрат, {}×{}, два паралельні відрізки, з'єднані двома іншими відрізками, сторонами.
  • багатокутна призма — це 3-вимірна призма, отримана з двох многокутників (один отриманий паралельним перенесенням іншого), які пов'язані прямокутниками. З правильного многокутника {p} можна отримати однорідну n-кутну призму, подану добутком {p}×{}. Якщо p = 4, призма стає кубом: {4}×{} = {4, 3}.
  • 4-вимірна призма, отримана з двох многогранників (один отримано паралельним перенесенням іншого), зв'язаних 3-вимірними призматичними комірками. З правильного многогранника {pq} можна отримати однорідну 4-вимірну призму, подану добутком {pq}×{}. Якщо многогранник є кубом і сторони призми теж куби, призма перетворюється на тесеракт: {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.

Призматичні многогранники більш високих розмірностей також існують як прямі добутки двох будь-яких многогранників. Розмірність призматичного многогранника дорівнює добутку розмірностей елементів добутку. Перший приклад такого добутку існує в 4-вимірному просторі і називається дуопризмами[ru], які отримуються, як добуток двох многокутників. Правильні дуопризми подаються символом {p}×{q}.

Скручена призма і антипризма[ред. | ред. код]

Скручена призма — це неопуклий призматичний многогранник, отриманий з однорідної q-кутної призми шляхом поділу бічних граней діагоналлю і обертання верхньої основи, зазвичай на кут радіан ( градусів), в напрямку, за якого сторони стають увігнутими[3][4].

Скручена призма не може бути розбита на тетраедри без уведення нових вершин. Найпростіший приклад з трикутними основами називається многогранником Шенхардта[ru].

Скручена призма топологічно ідентична антипризмі, але має половину симетрій: Dn, [n,2]+, порядку 2n. Цю призму можна розглядати як опуклу антипризму, у якої видалено тетраедри між парами трикутників.

Трикутна Чотирикутні 12-кутна

Многогранник Шенхардта

Скручена квадратна антипризма

Квадратна антипризма

Скручена дванадцятикутна антипризма

Пов'язані многогранники і мозаїки[ред. | ред. код]

Родина правильних призм
Многокутник
Мозаїка
Конфігурація 3.4.4 4.4.4 5.4.4 6.4.4 7.4.4[en] 8.4.4[ru] 9.4.4 10.4.4 Одинадцятикутна призма|11.4.4 12.4.4[en] 17.4.4 ∞.4.4
Родина опуклих куполів
n 2 3 4 5 6
Назва {2} t{2} {3} t{3} {4} t{4} {5} t{5} {6} t{6}
Купол
Діагональний купол

Трискатний купол

Чотирискатний купол

П’ятискатний купол[en]

Шестискатний купол
(плоский)
Пов'язані
однорідні
многогранники
Трикутна призма
Кубооктаедр
Ромбокубооктаедр
Ромбоікосододекаедр
Ромботришестикутна
мозаїка
[en]

Симетрії[ред. | ред. код]

Призми топологічно є частиною послідовності однорідних зрізаних многогранників з конфігураціями вершин (3.2 n.2n) і [n,3].

Призми топологічно є частиною послідовності скошених многогранників з вершинними фігурами (3.4.n.4) і мозаїк на гіперболічній площині. Ці вершиннотранзитивні фігури мають (*n32) дзеркальну симетрію[en].

З'єднання многогранників[ред. | ред. код]

Існує 4 однорідні з'єднання трикутних призм:

З’єднання чотирьох трикутних призм[en], з’єднання восьми трикутних призм[en], з’єднання десяти трикутних призм[en], з’єднання дванадцяти трикутних призм[en].

Стільники[ред. | ред. код]

Існує 9 однорідних стільників, що включають комірки у вигляді трикутних призм:

Пов'язані многогранники[ред. | ред. код]

Трикутна призма є першим многогранником в ряду напівправильних многогранників[en]. Кожен наступний однорідний многогранник містить в якості вершинної фігури попередній многогранник. Торольд Госсет[en] ідентифікував цю серію в 1900 як таку, що містить всі фасети правильних багатовимірних многогранників, всі симплекси і ортоплекси (правильні трикутники і квадрати для випадку трикутних призм). У нотації Коксетера трикутна призма задається символом −121.

Чотиривимірний простір[ред. | ред. код]

Трикутна призма є коміркою у багатьох чотиривимірних однорідних 4-вимірних многогранниках[en], включно з:

тетраедральна призма[en]

октаедральна призма[en]

кубооктаедральна призма[en]

ікосаедральна призма[en]

ікосододекаедральна призма[en]

зрізана додекаедральна призма[en]

ромбоікосі-
додекаедральна призма
[en]

ромбокуб-
октаедральна призма
[en]

зрізана кубічна призма[en]

кирпата додекаедральна призма[en]

n-кутна антипризматична призма[en]

скошений 5-комірник[en]

скошено-зрізаний 5-комірник[en]

обструганий 5-комірник[en]

струг-зрізаний 5-комірник[en]

скошений тесеракт[en]

скошено-зрізаний тесеракт[en]

обструганий тесеракт[en]

струг-зрізаний тесеракт[en]

скошений 24-комірник[en]

скошено-зрізаний 24-комірник[en]

обструганий 24-комірник[en]

струг-зрізаний 24-комірник[en]

скошений 120-комірник[en]

скошено-зрізаний 120-комірник[en]

обструганий 120-комірник[en]

струг-зрізаний 120-комірник[en]

Примітки[ред. | ред. код]

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • William F. Kern, James R. Bland. Solid Mensuration with proofs. — 1938.
  • Catherine A. Gorini. The facts on file: Geometry handbook. — New York : Infobase Publishing, 2003. — (Facts on file). — ISBN 0-8160-4875-4.
  • Anthony Pugh. Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms // Polyhedra: A visual approach. — California : University of California Press Berkeley, 1976. — ISBN 0-520-03056-7.

Посилання[ред. | ред. код]