П'ята проблема Гільберта
П'ята проблема Гільберта — одна з проблем, поставлених Давидом Гільбертом у його доповіді[1][2] на II Міжнародному конгресі математиків у Парижі в 1900 році. П'ята проблема Гільберта належить до теорії топологічних груп перетворень та груп Лі. Для важливих окремих випадків рішення отримано в 1933 і 1934 роках, остаточно вирішено в 1952 році.
Топологічна група перетворень складається з топологічної групи , топологічного простору та безперервної дії групи на , яке є безперервним відображенням
які мають такі дві властивості:
- для всіх , де — одиничний елемент з ,
- для всіх і для всіх .
Топологічна група є групою Лі, якщо — дійсно-аналітичне різноманіття, а множення - Фактично-аналітичне відображення. Тоді за теоремою про неявну функцію відображення є дійсно-аналітичним. Якщо - група Лі, — дійсно-аналітичне різноманіття, а дія групи на — дійсно-аналітичне, маємо групу дійсно-аналітичних перетворень.
Нехай — локально евклідова топологічна група. Тоді виникає питання про те, чи можна завжди забезпечити дійсно-аналітичною структурою такою, що множення
буде дійсно-аналітичним? Це питання, на яке згодом було дано позитивну відповідь, і вважається сьогодні п'ятою проблемою Гільберта.[3]
Для компактних груп п'ята проблема була вирішена фон Нейманом[4] у 1933 році. Для локально компактних комутативних груп та деяких інших окремих випадків проблему вирішив Понтрягін[3][5][6] в 1934 році. Ці докази були отримані за допомогою результату угорського математика Альфреда Хаара[7], який побудував на локально компактній топологічній групі інваріантну міру[8].
Центральним пунктом загального доказу виявилося питання про існування «малих» підгруп у скільки завгодно малої околиці одиниці (крім самої одиниці). Групи таких підгруп не мають. Значний внесок у рішення зробив Глісон[9], який доказав, що кожна кінцевомірна локально компактна топологічна група , яка не має малих підгруп, є групою Лі.
Остаточне рішення отримане в 1952 році Монтгомері і Лео Ципін, які довели, що у локально зв'язної кінцевомірної локально компактної топологічної групи немає малих підгруп[10]. Оскільки будь-яка локально евклідова топологічна група є локально зв'язною, локально компактною і кінцевою, то з цих двох результатів випливає наступне твердження.
Теорема. Кожна локально евклідова група є групою Лі.
Як згодом показав Глушков, ця теорема допускає узагальнення[11].
Цей результат часто розглядають як вирішення п'ятої проблеми Гільберта, але поставлене Гільбертом питання мало більш широкий характер і стосувалося груп перетворень. для випадку, коли різноманіття не збігається з [3][12].
Відповідь на загальне питання Гільберта у разі топологічних безперервних дій виявилася негативною навіть для тривіальної групи . Існують топологічні різноманіття, що не мають жодної гладкої структури, а отже, не мають і дійсно-аналітичної структури[13].
- ↑ David Hilbert. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900 (нім.). Архів оригіналу за 8 квітня 2012. Процитовано 27 серпня 2009.
{{cite web}}: Проігноровано невідомий параметр|description=(довідка) - ↑ Перевод доклада Гильберта с немецкого — М. Г. Шестопал и А. В. Дорофеева, опубликован в книге Александров, 1969
- ↑ а б в Пятая проблема Гильберта: Обзор.
- ↑ Neumann J. von Die Einfuhrung analytischer Parameter in topologischen Gruppen// Ann. Math. — 1933. — 34. — C. 170—190
- ↑ Проблемы Гильберта и советская математика (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 26 жовтня 2014. Процитовано 26 жовтня 2014.
- ↑ Pontryagin L. S. Topological groups. — Princeton: Univ. Press, 1939
- ↑ Der Maasbegriff in der Theorie der Kontinuerlichen Gruppen (Mértékfogalom a folytonos csoportok elméletében), 1933.
- ↑ Понтрягин Л. С. Жизнеописание Л. С. Понтрягина, математика, составленное им самим. Рождения 1908 г., Москва. — М. : Прима В, 1998. — 340 с. Архівовано з джерела 16 березня 2003
- ↑ Gleason A. M. Groups without small subgroups // Ann. Math. — 1952. — 56. — С. 193—212.
- ↑ Montgomery D., Zippin L. Small subgroups of finite-dimensional groups // Ann. Math. — 1952. — 56. — С. 213—241.
- ↑ В. М. Глушков. Строение локально бикомпактных групп и пятая проблема Гильберта(рос.), УМН, 1957, том 12, выпуск 2(74), 3—41.
- ↑ Montgomery D. Topological transformation groups // Proc. Int. Congr. Math. — 1954. — Vol. III. — Groningen-Amsterdam. — 1956. — С. 185—188 (РЖМат, 1958, 8602).
- ↑ Kervaire M. A. A manifold which does not admit any differentiable structure // Comment. Math. Helv. — 1960. — 34. — С. 257—270.
- Проблемы Гильберта / под ред. П. С. Александрова. — Москва : Наука, 1969. — 240 с. — 10700 прим. Архівовано з джерела 17 жовтня 2011