Народився 25 червня1997 року в місті Нуева-Ельвесія. Вихованець юнацьких команд футбольних клубів «Пеньяроль» та «Бока Хуніорс». 20 січня 2015 року Родріго дебютував за основну команду «Боки», в товариському матчі проти «Велес Сарсфілда» (3:1), вийшовши на заміну на 69-й хвилині зустрічі. Також Бентанкур зіграв п'ять хвилин у матчі проти «Рівер Плейт» у Мар-дель-Платі (у рамках Літнього турніру), в якому «Бока» виграла 1:0.
9 квітня 2015 року офіційно дебютував в головній команді «Боки Хуніорс» проти «Монтевідео Вондерерз» у Кубку Лібертадорес, замінивши співвітчизника Ніколаса Лодейро. Дебютував у Прімері Аргентини 12 квітня того ж року в грі проти «Нуева Чикаго». Гра завершилася внічию з рахунком 0:0. У Кубку Аргентини Бентанкур вперше зіграв у матчі проти «Уракан Лас-Ерас». Загалом став з командою дворазовим чемпіоном Аргентини та один раз виграв національний Кубок.
21 квітня 2017 року підписав контракт з італійським «Ювентусом» терміном до 30 червня 2022 року[3]. У першому ж сезоні виграв з командою «золотий дубль». Станом на 28 квітня 2018 року відіграв за «стару сеньйору» 19 матчів в національному чемпіонаті.
Уругвай[2]
«Тоттенгем Готспур»
«Бока Хуніорс»
«Ювентус»
Уругвай
65'
Болівія
Чехія
82'
Володар Кубка Італії (2):
Чемпіон Італії (3):
