Розбіжний ряд

Розбіжний ряд — в математичному аналізі, це ряд, який не є збіжним.

За критерієм: послідовність його часткових сум не має границі.

Також границя доданків ряду не існує як в

$1-1+1-1+\cdots$,

або не прямує до нуля, як в

$1-{\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}-{\frac {3}{4}}+{\frac {4}{5}}-\cdots .$

Існують різні методи сумування, щоб знайти значення «суми ряду» для деяких рядів.

Властивості методів сумування

Методи сумування здебільшого використовують послідовність модифікованих часткових сум, яка має кращі шанси збіжності.

Для ряду з елементів a та його часткових сум s розглянем метод A(s) та A^Σ(a):

• Регулярність — якщо послідовність s збіжна до x, то і A(s) = x. Тобто A^Σ(a) = x.
• Лінійність — A є лінійною якщо вона є лінійною функцією на послідовності на якій визначена, так що A(k r + s) = k A(r) + A(s) для послідовностей r, s і скаляра k. Оскільки a_n+1 = s_n+1 − s_n,це еквівалентно до A^Σ є лінійною функцією відносно ряду.
• Стабільність — якщо послідовність s починається з s₀ та s' — послідовність що пропускає перше значення і модифікує всі наступні таким чином: s′_n = s_n+1 − s₀, тоді A(s) = s₀ + A(s′).
• Скінченна переіндексація. Якщо a та a' такі 2 ряда, що існує бієкція $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ така, що a_i = a′_f(i) для всіх i, і якщо існує деяке $N\in \mathbb {N}$ таке що a_i = a′_i для всіх i > N, тоді A^Σ(a) = A^Σ(a′). (Тобто, a′ це той же ряд a, лише зі скінченною кількістю переіндексованих елементів.)

Важливою властивістю пари методів є узгодженість: A та B є узгодженими, якщо для довільної послідовності s, A(s) = B(s). (Тобто A є регулярним, якщо він узгоджений із Σ.)

Теореми про методи сумування

Абелівська теорема (за прототипом теореми Абеля): Метод сумування є регулярним, якщо його результат співпадає зі звичайним сумуванням для усіх збіжних рядів.

Теорема Таубера: частково обернене твердження, що якщо M підсумовує ряд Σ і виконується деяка побічна умова, то Σ був збіжним спочатку; без будь-якої побічної умови такий результат означатиме, що M підсумовує лише збіжні ряди (що робить його непридатним як метод підсумовування для розбіжних рядів).

Класичні методи сумування

Класичними методами є $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ (сума ряду) та $\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ (абсолютна збіжність) і для розбіжних рядів вони не мають границь.

Методи сумування

Нові методи сумування вводять нові означення збіжності:

• Збіжність за Чезаро
• Збіжність за Пуассоном — Абелем
• Збіжність за Ейлером
• Збіжність за Борелем

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2300+ с.(укр.)