Розкладання дробів при інтегруванні

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

В інтегруванні, розкладання дробів дозволяє інтегрувати раціональні функції. Будь-яка раціональна функція може бути представлена у вигляді суми деякого многочлена і деякого числа дробових функцій. Кожен дріб має знаменник у вигляді многочлена першого і другого степеня, до того ж многочлен в знаменнику, в свою чергу, також може бути піднесеним до деякого додатного цілого степеня. (У випадку комплексної змінної, знаменники є многочленами першого степеня, і ці многочлени можуть бути піднесені до цілого додатного степеня). Якщо знаменник є многочленом першого степеня, піднесений в деякий цілий додатній степінь, то чисельник дробу є постійним числом. Якщо знаменник є многочленом другого степеня (або деякого цілого додатного степеня такого многочлена), тоді чисельник є многочленом першого степеня.

Рішення Ісаака Барроу для інтегралу від секансу було першим випадком використання розкладання дробів в інтегруванні[1].

Неформальний опис[ред. | ред. код]

Відомо, що многочлен n-го степеня в загальному випадку має n комплексно-спряжених коренів (деякі корені можуть збігатися). Наприклад, многочлен x2 − 6x + 8 має два корені; многочлен x3 − 6x2 + 8x + 7 має три корені тощо.

Відповідно, будь-який многочлен може бути розкладений за формулою

де ,  — корені многочлена.

Наприклад, многочлен x2 − 6x + 8 можна розкласти наступним чином:

x2 − 6x + 8 = (x - 2)(x - 4),

де 2 і 4 — корені квадратного рівняння x2 − 6x + 8=0.

Отже, дріб, знаменником якої є многочлен, може бути розкладений наступним чином:

.

Ця операція розкладання дробу в деякому сенсі зворотня операції приведення дробу до спільного знаменника, з тією лише різницею, що тут ставиться зворотня задача — не привести дріб до спільного знаменника, а розкласти дріб, що має спільний знаменник, на декілька дробів, що мають різні знаменники.

Для прикладу розкладемо дріб

.

Згідно з тим, що написано вище, розклад цього дробу буде таким

.

Почнемо приводити два дроби у правій частині рівняння до спільного знаменника, і, очевидно, що чисельник, отриманого дробу буде рівним чисельнику первісного дробу

,

тобто, чисельник отриманого дробу буде дорівнювати одиниці.

Маємо

.

Записуючи два дроба з правого боку під одну риску, отримаємо

.

Розкривши дужки в знаменнику, отримаємо

.

Враховуючи, що знаменники однакові, то чисельники дробів з правої і лівої сторони можна порівняти; тоді отримаємо:

.

Розкриємо дужки з правої частини рівності та згрупуємо доданки:

.

В лівій частині множник при змінній х дорівнює нулю (змінна х відсутня), а вільний член дорівнює 1. В правій частині рівності множник при х дорівнює (А+В), а вільний член дорівнює (-4A — 2B). Прирівнюючи множники при х в правій і лівій частинах отримуємо рівняння:

.

Аналогічно прирівнюємо вільні члени, і отримуємо рівняння:

.

Об'єднуємо ці два рівняння в систему:

.

Розв'язуючи цю систему, знаходимо,що

,

.

Отже, маємо розклад

Тоді, інтеграл від дробу

буде дорівнювати сумі інтегралів від двох дробів

.

Враховуючи, що під знаком диференціалу до змінної можна додавати будь-яку константу, запишемо

Зробимо дві заміни

, .

Тоді інтеграл прийме вигляд

.

Ці два інтеграли можна знайти за таблицею інтегралів. Тоді остаточно отримуємо:

або

.

Многочлен першого степеня в знаменнику[ред. | ред. код]

Підстановка u = ax + b, du = a dx дозволяє спростити інтеграл

до

Многочлен першого степеня в знаменнику, зведений до деякого цілого додатного степеня[ред. | ред. код]

Та ж сама підстановка спрощує інтеграл, подібний наступному

до

В знаменнику многочлен другого степеня, який не має дійсних коренів[ред. | ред. код]

Розглянемо інтеграл

Найпростіший шлях побачити, що знаменник x2 − 8x + 25 не має дійсних коренів, полягає в тому, щоб обчислити його дискримінант, і побачити, що цей дискримінант від'ємний. Іншим чином, можна виділити повний квадрат в знаменнику:

і можна побачити, що знаменник являє собою суму квадратів двох чисел, і ця сума ніколи не може бути рівною 0 або менше 0, якщо x — дійсне число.

Використовуючи підстановку

нам потрібно виділити вираз x − 4 в чисельнику. Тоді мі зможемо записати чисельник x + 6 у вигляді суми (x − 4) + 10, і тоді інтеграл буде записан у вигляді

Наведена вище підстановка дозволяє взяти перший із цих двох інтегралів:

Причина, з якої ми можемо опустити модульні дужки, є у тому, що, як ми казали раніше, вираз (x − 4)2 + 9 не може мати від'ємних значень.

Далі треба взяти інтеграл

В першу чергу, виділимо повний квадрат в знаменнику, після чого проведемо не складні алгебраїчні перетворення:

Тепер використаємо наступну підстановку

що дозволяє знайти

Додаючи обидва знайдених вирази, запишемо результат інтегрування

Використання комплексного розкладу[ред. | ред. код]

В деяких випадках зручніше використовувати комплексний розклад многочлена. Так, у наведеному вище прикладі:

Розкладаємо знаменник на два комплексні множники:

Після чого шукаємо розклад підінтегрального виразу на два доданки:

Вирішивши нескладну систему лінійних рівнянь, отримуємо:

Після інтегрування маємо:

Згрупуємо окремо дійсні та уявні доданки:

Як відомо, арктангенс комплексного змінного виражаеться через логарифм:

Це дає нам можливість переписати другий доданок через арктангенс:

В знаменнику многочлен другого степеня, зведений до цілого додатного степеня[ред. | ред. код]

Розглянемо інтеграл

Так само, як це робилося вище, можна представити чисельник x + 6 у вигляді суми (x − 4) + 10, і взяти ту частину, котра містить вираз x − 4, за допомогою підстановки

Нам залишається лише знайти інтеграл

Як це робилося вище, спочатку виділимо повний квадрат, після цього зробимо нескладні математичні дії

Після цього можна використовувати підстановку:

Після чого інтеграл приймає вигляд

Декілька разів використовуючи формулу

можна спрощувати цей інтеграл, до поки підінтегральний вираз не буде мати cos θ в степені, більше ніж 1.

Далі варто виразити sin(θ) і cos(θ) як функції від x. Приймемо, що

і що тангенс = (протилежна сторона)/(прилегла сторона). Якщо «протилежна» сторона має довжину x − 4 і «прилегла» сторона має довжину 3, то згідно теоремі Піфагора гіпотенуза має довжину √((x − 4)2 + 32) = √(x2 −8x + 25).

Маємо

і

Примітки[ред. | ред. код]

  1. V. Frederick Rickey and Philip M. Tuchinsky, «An Application of Geography to Mathematics: History of the Integral of the Secant», Mathematics Magazine, volume 53, number 3, May 1980, pages 162—166

Посилання[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • Высшая математика в упражнениях и задачах. (В 2-х частях) Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевников Т. Я. 4-е изд., испр. и доп.— M.: Высш. шк., 1986. ч.1 — 304с.; ч.2 — 416с