Рівняння Кортевега – де Фріза

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівняння Кортевега-де Фріза (KdV, КдФ або КдВ для стислості) — нелінійне диференціальне рівняння з частинними похідними вигляду:

u_{t} +\alpha\, uu_x+u_{xxx}=0,\,\,\alpha\not=0,

яке являє собою універсальну модель для опису одномірних нелінійних хвиль в середовищах з дисперсією без дисипації, в яких закон дисперсії для лінійних хвиль описується двома членами розкладу по степенях хвильового числа k: \, w=sk(1+\varepsilon k^2). Запропоноване Кортевегом[en] та Гюго де Фрізом[en] в 1895 у зв'язку з задачею про хвилі на поверхні рідини.

Значення коефіцієнта \alpha
можна зробити рівним будь-якому числу лінійним перетворенням змінних. Найчастіше в літературі можно зустріти \alpha=6
[1][2], \alpha=1
[3], \alpha=-6
[4][5].

Солітонні розв'язки[ред.ред. код]

Завдамося метою знайти нетривіальні частинні розв'язки рівняння КдФ. Рішення будемо шукати у вигляді u(x,t)=s(x-ct). Підставляючи функцію s(x-ct) у рівняння КдФ отримаємо:

-cs_{t}+\alpha ss_{x}+s_{xxx}=0\Leftrightarrow-cs_{x}+\alpha ss_{x}+s_{xxx}=0.

Інтегруємо останню рівність по x. Враховуючи, що \int ss_{x}\,dx=s^{2}-\int s_{x}s\,dx, отримаємо:

-cs+\frac{\alpha}{2}s^{2}+s_{xx}=0.

Помножуємо отримане рівняння на 2s_{x} і знову інтегруємо його. Враховуючи, що \int s_{x}s^{2}\,dx=s^{3}-\int s\cdot2ss_{x}\,dx, \int s_{x}s_{xx}\,dx=s_{x}^{2}-\int s_{xx}s_{x}\,dx отримаємо:

-cs^{2}+\frac{\alpha}{3}s^{3}+s_{x}^{2}=0.

Нам потрібно вирішити останнє рівняння. Для того, щоб позначення не перетинались, знайдемо значення функції z(y) яка задовольняє рівнянню

-cz^{2}+\frac{\alpha}{3}z^{3}+z_{y}^{2}=0.

Легко перевірити безпосередньою підстановкою, що рішення має вигляд z(y)=\frac{3c}{\alpha ch^{2}(\frac{1}{2}y\sqrt{c}+\tilde{z_{0}})}, де \tilde{z_{0}} залежить від початкових даних. Отже, знайдене часткове рішення КдФ має вигляд:

u(x,t)=\frac{3c}{\alpha ch^{2}(\frac{1}{2}(x-ct)\sqrt{c}+\tilde{u_{0}})},

де c>0 — швидкість солітона, \tilde{u_0} — положення його центру, — довільні сталі. У 1965 Забуський[en] і Краскал[en] виявили[6], що це рішення, котре являє собою усамітнену хвилю, має властивість, яка не була відома раніше, а саме: таке рішення «пружно» взаємодіє з іншою такою хвилею. Вони назвали такі хвилі солітонами. Видно, що солітони з великою амплітудою виявляються вужчим і рухаються швидше, і взаємодія двох окремих солітонів подібна до зіткнення частинок. Солітон-1 з більшою енергією наздоганяє повільніший солітон-2, але не переганяє його; між ними відбувається складна нелінійна взаємодія, в результаті якої скоріший солітон-1 «передає» свою енергію повільнішому солітону-2. Відтак солітон-2 починає рухатися скоріше, а солітон-1 уповільнюється до початкової швидкості солітона-2. Хвилі-солітони таким чином відтворюють картину взаємодії двох частинок чи куль, одна з яких наздоганяє і пружно передає при зіткненні свою енергію повільнішій. Вперше цей факт був формально доведений Лаксом[en] у 1968[3].

Значення солітонних розв'язків[ред.ред. код]

Виникає питання, чому часткове рішення нелінійного рівняння має якесь значення. Коли ми маємо справу з лінійним рівнянням, скажімо, вигляду \dot{x}=A(t)x, де A(t)\in\Bbb{R}^{n\times n}, то за допомогою n лінійно незалежних часткових рішень ми можемо виразити усі рішення системи. В лінійних рівняннях в часткових похідних аналогом фундаментальної системи рішень можуть служити власні функції — рішення задачі Штурма — Ліувілля. Таким чином, в лінійних рівняннях значення часткових рішень зрозуміло. Але яке значення може мати часткове рішення нелінійного рівняння? До роботи Краскала та Забуського[6] відповіді на це питання не було. Вони зробили наступне спостереження: Нехай u(x,t) — нетривіальне рішення КдФ, яке прямує до нуля при x\rightarrow \pm\infty достатньо швидко. Тоді існують числа c_{1}>0,...,c_{N}>0 — власні швидкості u(x,t), та набір фазових зсувів \theta_{1}^{\pm},...,\theta_{N}^{\pm} таких, що:


\lim\limits_{t\to\pm\infty}u(x+ct,t)=\begin{cases}
s(x-\theta_{j}^{\pm},c_{j}),c=c_{j}\\
0,c\not=c_{j},
\end{cases}

де s(x,c)=\frac{3c}{\alpha ch^{2}(\frac{1}{2}x\sqrt{c})} — так звана усамітнена хвиля (рос. уединенная волна, англ. solitary wave). Читач зможе самостійно перевірити, що для знайденого нами раніше рішення ця теорема виконується. Треба зазначити, що зовсім не очевидно, що власні швидкості у солітонів при t\rightarrow -\infty такі ж, як і при t\rightarrow +\infty. Зазначимо також, що це твердження вірно для початкової задачі рівняння КдФ з достатньо швидко наближаючимися до нуля рішеннями. Поведінка при t\rightarrow \pm\infty обчислюється за початковими даними, тобто за значенням хвильової функції u(x,t=0) та за умовами на нескінченності (в нашому випадку прямування до нуля достатньо швидко).

Це твердження говорить, що будь-яке нетривіальне рішення КдФ при великих термінах поводить себе як декілька солітонних хвиль, які мають вигляд часткового рішення, яке ми знайшли на початку цієї частини. Це дає змогу зрозуміти важливість знайденого нами часткового рішення і доводить його унікальне значення, у нашому випадку, лише у рівнянні КдФ. Але виключна роль солітону виходить далеко за рамки рівняння КдФ. Солітонні розв'язки має рівняння НШ (Нелінійне рівняння Шредінгера), sin-Гордон, рівняння Кадомцева-Петвіашвілі, модифіковане рівняння КдФ (мКдФ) та інші. Всі ці рівняння (особливо, мабуть, НШ) мають виключне значення у математиці та фізиці.

Також потрібно зазначити, що до роботи Краскала та Забуського рівняння КдФ було маловідомим та не викликало інтерес. КдФ — нелінійне рівняння, властивості якого не були відомі, не говорячи про те, щоб його вирішити. Навіть на конференції у Данії на честь Котевега серед його результатів не було названо широко відоме нині рівняння Кортевега-де Фріза[7]. У роботі Крускала та Забуського не було доведено центрального факту, який ми зазначили вище. Вони вирішували задачу чисельно і помітили зазначену нами несподівану поведінку рішення, розбудивши тим самим неабиякий інтерес до рівняння КдФ, що призвело до створення нового метода у математичній фізиці — метода зворотньої задачі розсіяння (МОЗР), за допомогою якого Гарднер, Грін, Крускал та Міура вирішили задачу Коші для рівняння КдФ з достатньо швидко прямуючим до нуля рішенням при x\rightarrow \pm\infty. (тобто u(x,t)\rightarrow 0 при x\rightarrow \pm\infty достатньо швидко, можливо також зі своїми похідними по x). Саме тому робота[6] має центральне значення у цій тематиці.

Пара Лакса[ред.ред. код]

Парою Лакса для рівняння КдФ u_{t}+\alpha uu_{x}+u_{xxx} називаються оператори вигляду L=-\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\alpha}{6}u\right) A_{f}=-\left(4\frac{\partial^{3}}{\partial x^{3}}+\alpha u\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\alpha}{2}u_{x}+f(k,t)\right), де f(k,t) — будь-яка функція. Для цих операторів у методі зворотнього перетворення розсіяння (рос. метод обратного преобразования рассения (МОЗР), англ. Inverse Scattering Transform Method (IST)) ставляться рівняння: L\psi=\lambda\psi та \psi_{t}=A_{f}\psi. Прямим чисенням можно довести, що L_{t}-[A_{f},L]=0, де [A_{f},L] означає комутатор, тобто [A_{f},L]=A_{f}L-LA_{f}, а L_{t}=-u_{t}, є рівнянням КдФ незалежно від вигляду функції f(k,t).

Лагранжіан[ред.ред. код]

Рівняння КдФ є рівнянням руху Лагранжа-Ейлера для функції Лагранжа із такою густиною \mathcal{L}\,:

\mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_x \psi\, \partial_t \psi 
+  \left( \partial_x \psi \right)^3 
-  \frac{1}{2} \left( \partial_x^2 \psi \right)^2  \quad \quad \quad \quad (1) \,

де u позначено як

u = \frac{\partial \psi}{\partial x} = \partial_x \psi. \,

Виноски[ред.ред. код]

  1. А. Ньюэлл. Солитоны в математике и физике. Москва Мир 1989.
  2. М.Абловиц и Х.Сигур. "Солитоны и метод обратной задачи. " Москва Мир 1987.
  3. а б P. D. Lax. «Integrals of Nonlinear Equations of Evolution and Solitary Waves» Comm. on Pure and Applied Math. 21,467 (1968).
  4. Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев."Гамильтонов подход в теории солитонов", Москва «НАУКА» 1986.
  5. C. S. Gardner, J. Green, M. Kruskal, and R. Miura."Method of solving the Korteweg-de Vries equation" Phys. Rev. Lett. 19, 1095 (1967).
  6. а б в N.J.Zabusky and M.D.Kruskal (1965), Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states, Phys.Rev.Lett., 15 pp. 240–243. Оригінал статті
  7. http://www.cs.cornell.edu/courses/cs722/2000sp/gardner.ps

Література[ред.ред. код]

  • Солитоны в действии = Solitons in Action / Под ред. К. Лонгрена и Э. Скотта. — М.: Мир, 1981.
  • Физическая энциклопедия / Под ред. А. М. Прохорова. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2. — 703 с.
  • Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи = Solitons and the Inverse Scattering Transform. — М.: Мир, 1987. — 480 с.
  • Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения = Solitons and Nonlinear Wave Equations. — М.: Мир, 1988. — 696 с.
  • Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. — М.: Наука, 1980. — 320 с.
  • Инфельд Э., Роуландс Дж. Нелинейные волны, солитоны и хаос = Nonlinear Waves, Solitons and Chaos. — М.: Физматлит, 2006. — 480 с.
  • Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны = Spectral Transform and Solitons. — М.: Мир, 1985.
  • Капеллер Т., Пёшль Ю. КдФ и КАМ = KdV & KAM. — Ижевск: РХД, 2008. — 360 с.
  • Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике = Solitons in Mathematics and Physics. — М.: Мир, 1989. — 326 с.
  • Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. — М.: Наука, 1986. — 527 с.
  • Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны = Linear and Nonlinear Waves. — М.: Мир, 1977. — 624 с.
  • Calogero F. Nonlinear Evolution Equations Solvable by the Spectral Transform // Comm. Math. Phys.. — 1978. — Т. 26, № 2. — С. 155-176.
  • Eilenberger G. Solitons: Mathematical Methods for Physicists. — Springer, 1981.
  • Fokas A. S. A Unified Approach To Boundary Value Problems. — SIAM, 2008.

Див. також[ред.ред. код]