Рівняння синус-Ґордона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівняння синус-Ґордона — це нелінійне гіперболічне рівняння з частинними похідними в 1 + 1 вимірі, що містить оператор д'Аламбера та синус невідомої функції. Спочатку його було розглянуто в XIX сторіччі в зв'язку з вивченням поверхонь постійної від'ємної кривизни. У 1970-х роках рівняння знову привернуло увагу через наявність у нього солітонних розвязків.

Історія[ред.ред. код]

Існує дві еквівалентні форми рівняння синус-Ґордона. В дійсних координатах простір-час, позначених (x,t), рівняння має вигляд:

У разі переходу до координат світлового конуса (u,v), близьких до асимптотичних координат, де


рівняння набуває вигляду:

Це вихідна форма рівняння синус-Ґордона, в якій його було розглянуто в XIX сторіччі в зв'язку з вивченням поверхонь постійної гаусової кривини K = −1, також званих псевдосферами. Оберемо систему координат, в якій координатна сітка u=constant, v=constant задається асимптотичними лініями, параметризованими довжиною дуги. Перша квадратична форма цієї поверхні в таких координатах матиме особливий вигляд:

де  — кут між асимптотичними лініями, і для другої квадратичної форми, L=N= 0. Тоді рівняння Петерсона — Кодацці, що відображає умову сумісності між першою і другою квадратичними формами, призводить до рівняння синус-Ґордона. Вивчення цього рівняння та відповідних перетворень псевдосфери в XIX столітті Б'янкі і Беклундом привели до відкриття перетворень Беклунда. Назва «рівняння синус-Ґордона» — це каламбур на тему відомого у фізиці рівняння Клейна — Ґордона:

Рівняння синус-Ґордона рівнянням Ейлера — Лагранжа для лагранжіану

Застосовуючи у цьому лагранжіані розклад косинуса у ряд Тейлора

його може бути записано як лагранжіан Клейна-Ґордона плюс члени вищого порядку:

Солітонні розвязки[ред.ред. код]

Цікава властивість рівняння синус-Ґордона — існування солітонних і багатосолітонних розв'язків.

Односолітонні розв'язки[ред.ред. код]

Рівняння синус-Ґордона має такі односолітонні розв'язки

де

односолітонний розв'язок, для якого вибраний додатній корінь для , називається кінком і являє собою вито́к щодо змінної , який переводить один розв'язок у суміжний . Стани відомі як вакуумні, оскільки вони є сталими розв'язками нульової енергії. Односолітонний розв'язок, в якому вибирається від'ємний корінь для називається антикінк. Форма односолітонних розв'язків може бути отримана за допомогою застосування перетворення Беклунда до тривіального (постійного вакуумного) розв'язку та інтегрування одержаних диференціальних рівнянь першого порядку:

Односолітонні розв'язки можуть бути візуалізовані за допомогою синус-ґордонівской моделі пружної стрічки. Вважатимемо вито́к пружної стрічки за годинниковою стрілкою (лівогвинтовий) за кінк з топологічним зарядом . Альтернативний вито́к проти годинникової стрілки (правогвинтовий) з топологічним зарядом буде антикінком.

Двосолітонний розв'язок[ред.ред. код]

Багатосолітонні розв'язки можуть бути отримані за допомогою застосування перетворення Беклунда до односолітонного розвязку, як пропонується ґратками Б'янкі, відповідної результатам перетворення. Двосолітонний розв'язок рівняння синус-Ґордона виявляє деякі характерні властивості солітонів. Біжучі синус-ґордонівські кінки та/або антикінки проходять один крізь одного як повністю проникні, і єдиний спостережуваний ефект — фазовий зсув. Оскільки солітони у зіткненнях зберігають свою швидкість і форму, такий вид взаємодії називається пружним зіткненням.

Інші цікаві двосолітонні розв'язки виникають з можливості спареної кінк-антикінкової поведінки, відомої як брізер. Відомо три типи брізерів: стоячий брізер, біжучий високоамплітудний брізер і біжучий низькоамплітудний брізер.

Трисолітонні розвязки[ред.ред. код]

Трисолітонні зіткнення між біжучим кінками і стоячим брізером або біжучим антикінком і стоячим брізером призводять до фазового зсуву стоячого брізера. У процесі зіткнення між рухомим кінком і стоячим брізером зсув останнього дається співвідношенням:

де  — швидкість кінка, а  — частота брізера. Якщо координата стоячого брізера до зіткнення — , то після зіткнення вона стане .


Пов'язані рівняння[ред.ред. код]

Рівняння шінус-Ґордона:

Це рівняння Ейлера-Лагранжа для лагранжіану

Інше рівняння, тісно повязане з рівнянням синус-Ґордона, — це еліптичне рівняння синус-Ґордона:

де  — функція змінних змінних x та y. Це вже не солітонне рівняння, але воно має багато схожих властивостей, оскільки пов'язане з рівнянням синус-Ґордона аналітичним продовженням (або ж поворотом Віка) .

Еліптичне рівняння шінус-Ґордона може бути означене аналогічним чином. Узагальнення дається теорією поля Тоди.

Квантова версія[ред.ред. код]

У квантовій теорії поля модель синус-Ґордона містить параметр, який може бути ототожнений зі сталою Планка, спектр частинок складається з солітону, антісолітону і скінченного (можливо, нульового) числа брізерів. Число брізерів залежить від цього параметра. Численні народження частинок скорочуються на рівняннях руху. Квазікласичне квантування моделі синус-Ґордона було здійснено Людвігом Фаддеєвим і Володимиром Корепіним[1]. Точну квантову матрицу розсіювання відкрито Олександром Замолодчіковим. Ця модель s-дуальна моделі Тіррінґа.

У скінченому об'ємі та на промені[ред.ред. код]

Модель синус-Ґордона також розглядають на колі, відрізку прямої або промені. Можливо добрати граничні умови, які зберігають інтегрованість цієї моделі. На промені спектр частинок містить граничні стани окрім солітонів і брізерів.

Суперсиметричні моделі синуса-Ґордона[ред.ред. код]

Суперсиметричний аналог моделі синус-Ґордона також існує. Для нього також може бути знайдено граничні умови, що зберігають інтегрованість.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

  1. Physics Reports том 42 (1), стор 1-87, червень 1978

Джерела[ред.ред. код]

  • Раджараман Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. — М. : Мир, 1985. — 416 с.
  • Polyanin AD, Zaitsev VF. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations. Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2004.


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.