Твердження, еквівалентні аксіомі вибору

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У статті розглядаються різні формулювання і доводиться еквівалентність таких тверджень:

Еквівалентність цих тверджень слід розуміти в тому сенсі, що будь-якого з них, разом із системою аксіом Цермело — Френкеля (ZF), достатньо, щоб довести інші.

Лема Цорна і принцип максимуму Гаусдорфа

[ред. | ред. код]

Формулювання леми Цорна.

Частково впорядкована множина, в якій будь-який ланцюг має верхню грань, містить максимальний елемент.

Якщо будь-який ланцюг у частково впорядкованій множині має верхню грань, то будь-який елемент із підпорядкований деякому максимальному.

Нехай сімейство множин володіє тією властивістю, що об'єднання будь-якого ланцюга множин з є знову множиною цього сімейства. Тоді містить максимальну множину.

Формулювання принципу максимуму Гаусдорфа (англ. Hausdorff Maximal Principle):

У будь-якій частково впорядкованій множині існує максимальна лінійно впорядкована підмножина.

У частково впорядкованій множині кожен ланцюг міститься в деякому її максимальному ланцюгу.

Еквівалентність цих пропозицій доводитимемо за такою схемою:

Ясно, що випливає із , оскільки в стверджується більше: існує максимальний елемент, більший від заданого . І навпаки, нехай  — частково впорядкована множина, в якій будь-який ланцюг має верхню грань, і нехай . Застосуємо до множини . Її максимальний елемент також є і максимальним елементом , і, крім того, задовольняє умові .

Сімейство множин частково впорядковане за теоретико-множинним відношенням включення . Будь-який ланцюг множин має верхню грань — це множина , яка, за припущенням, належить системі . У силу в сімействі є максимальний елемент, тобто максимальна за включенням множина.

Нехай  — частково впорядкована множина,  — ланцюг у ,  — множина всіх ланцюгів у , що містять , упорядкованих відносно включення. Існування максимального ланцюга, що містить , тепер випливає із , стосовно до , і того факту, що об'єднання всіх множин ланцюга в («ланцюги ланцюгів»), знову є множиною з .

Очевидно.  — окремий випадок , коли початковий ланцюг — порожня множина .

Нехай  — частково впорядкована множина в умові . Розглянемо максимальний ланцюг в , існування якого випливає з . За умовою цей ланцюг має верхню грань . Тоді є максимальним елементом , і крім того, належить ланцюгу. Припустивши протилежне, ми прийдемо до суперечності з умовою максимальності .

Ці міркування доводять еквівалентність принципу максимуму Гаусдорфа і леми Цорна.

Теорема Цермело

[ред. | ред. код]
Докладніше: Теорема Цермело

Формулювання теореми Цермело (англ. Well Ordering Principle)

Будь-яку множину можна цілком упорядкувати.

Нехай  — довільна дана множина. Покажемо, що її можна цілком упорядкувати.

Розглянемо сукупність усіх пар , де , а  — відношення повного порядку на . На множині уведемо природне відношення порядку: слідує за , якщо є початковий відрізок , тобто якщо для деякого і на множині відношення збігається з .

Далі доведемо два твердження.

I. В існує максимальний елемент. Це випливає із і того факту, що якщо  — ланцюг у , то об'єднання всіх елементів є також елементом , який є верхньою гранню ланцюга .

II. Якщо  — максимальний елемент, то . Якби була непорожньою, то взявши який-небудь елемент , і поклавши для будь-якого , ми отримали б цілком упорядковану множину , початковим відрізком якої є . Це суперечить припущенню про максимальність .

Таким чином, ми маємо цілком упорядковану множину . Що й потрібно було довести.

Нехай   частково впорядкована множина. В силу теореми Цермело множину можна цілком упорядкувати. Нехай   відношення цілкомупорядкування на .

Визначимо розбиття множини на дві підмножини і індукцією за цілком упорядкованою множиною (такий спосіб також називають трансфінітною рекурсією).

Нехай і всі елементи вже віднесено або до , або до . Віднести до , якщо він порівняємо з усіма елементами ; в іншому випадку віднесемо його до .

Проводячи таким чином індуктивну побудову за цілком впорядкованою множиною ми отримаємо множини і . Як видно з побудови   ланцюг в . Крім того, ясно, що він є максимальним. Таким чином, ми довели принцип максимуму Гаусдорфа.

Аксіома вибору

[ред. | ред. код]
Докладніше: Аксіома вибору

Формулювання аксіоми вибору:

Для кожного сімейства непорожніх множин існує функція вибору , тобто

Достатньо довести еквівалентність одному з тверджень . Однак нижче наведено декілька доведень.

Див. книгу Гаусдорфа, або Куроша.

Міркування аналогічне тому, що використовувалося для доведення .

Упорядкуємо кожне , і потім визначимо функцію вибору як мінімальний елемент множини:

Див. книгу Куроша.

Джерела

[ред. | ред. код]