Теорія множин Цермело — Френкеля
Теорія множин Цермело — Френкеля | |
Названо на честь |
Абрахам Френкель і Ернст Цермело ![]() |
---|---|
Тема вивчення/дослідження |
аксіома об'ємності, аксіома регулярності, аксіома схеми виділення, аксіома пари, аксіома об'єднання, Аксіомна схема підстановки, аксіома нескінченності і аксіома булеана ![]() |
Підтримується Вікіпроєктом |
Вікіпедія:Проєкт:Математика ![]() |
Теорія множин Цермело — Френкеля (позначається ZF) — найпоширеніша аксіоматика теорії множин, і, через це, найпоширеніша основа математики.
ZFC — теорія множин Цермело — Френкеля з аксіомою вибору (AC).
ZFC містить єдине примітивне онтологічне поняття — множина, та єдине онтологічне припущення, що всі об'єкти в досліджуваному просторі (наприклад, всі математичні об'єкти) є множинами.
Вводиться єдине бінарне відношення — приналежність до множини; позначає що множина є елементом множини , та записується як .
ZFC є теорією першого порядку; в ZFC містяться аксіоми, в яких використовується логіка першого порядку. Ці аксіоми описують: порівняння, існування, побудову та впорядкування множин.
Аксіоматична теорія множин — напрям у математичній логіці, присвячений вивченню фрагментів змістовної теорії множин методами математичної логіки. З цією метою фрагменти теорії множин подають у вигляді аксіоматичної теорії. В основі сучасної теорії множин лежить система аксіом, які приймають без доведення і з яких виводять усі теореми теорії множин. Передумовами створення такої теорії стало відкриття деяких парадоксів (антиномій, суперечностей) так званої «наївної» теорії множин. Серед таких парадоксів найбільш відомими є парадокси Рассела[1] та Кантора.
Першою аксіоматикою такого роду була система Z Цермело (E. Zermelo, 1908). Однак у цій системі неможливо було природним чином формалізувати деякі розділи математики, і А.Френкель (A. Frenkel, 1922) запропонував доповнити систему Z новим принципом, який назвав аксіомою підстановки. Отриману систему називають системою аксіом Цермело — Френкеля і позначають ZF.
Дві множини рівні тоді й тільки тоді, коли вони мають одні й ті ж елементи.[2]
Аксіома нескінченності (Z7)
[ред. | ред. код]Існує така множина A, що включає в себе пусту множину {} та для будь-якого належного їй елемента B включає також і множину, сформовану як об'єднання B та її синґлетону {B}.[3]
Існує множина без елементів.[4]
Таку множину зазвичай позначають як ∅ або {} та називають порожньою множиною.
Аксіома пари (Z2)
[ред. | ред. код]Для будь-яких множин A та B існує множина C така, що A та B є її єдиними елементами. Множина C позначається {A, B} і називається невпорядкованою парою A та B.[5]
Тобто, якщо A = B, то існує множина C така, що вона складається з одного елемента {A, A} = {A} (який має назву синглетона).
Аксіома булеана (Z4)
[ред. | ред. код]Для будь-якої множини А існує множина B, елементами якої є ті й тільки ті елементи що є підмножинами A.[6]
Якщо ввести відношення підмножини , то формулу можна спростити:
Множину B називають булеаном множини A та позначають .
Аксіома об'єднання (Z5)
[ред. | ред. код]Для двох множин існує третя, яка включає в себе всі елементи обох, і тільки їх.[7]
З аксіоми прямо випливає, що об'єднання множин також є множиною. Множина B називається об'єднанням A, і позначається ∪A.
Для будь-якої множини А і властивості P існує множина B, елементами якої є ті й тільки ті елементи множини А, які маю властивість P.[8]
Для кожної такої властивості P (предиката, що не використовує символ B), існує окрема аксіома виділення. Тому комплект таких аксіом називають схемою.
Нехай А - множина, і P(x,y) - предикат. Тоді якщо для кожного x існує єдиний y, такий що P(x,y) істинний, тоді існує множина всіх y, для яких знайдеться такий x ∈ A, що P(x,y) істинний. [9]
Аксіома регулярності (ZF)
[ред. | ред. код]В будь-якій непорожній множині А є елемент B, що перетин А та B є порожньою множиною.[10]
Якщо ввести операцію перетину множин , то формулу можна спростити:
Аксіома вибору (Z6)
[ред. | ред. код]Для довільного сімейства непорожніх множин, що не перетинаються, існує множина, яка має рівно один спільний елемент з кожною множиною даного сімейства, навіть якщо множин у сімействі нескінченно багато і невизначено правило вибору елемента з кожної множини.[11]
- Аксіома порожньої множини явним чи неявним чином присутня у всіх аксіоматичних теоріях множин. В ZF не є виокремленою, а включається в аксіому нескінченності.
- Аксіомна схема виділення не входить в ZF, оскільки виводиться із пізніше введеної аксіомної схеми підстановки та аксіоми порожньої множини.
- Аксіома пари виводиться із аксіоми підстановки, аксіоми порожньої множини та аксіоми булеана.
- ↑ Андрійчук, Комарницький та Іщук, 2003, с. 8-10
- ↑ Андрійчук, Комарницький та Іщук, 2003, с. 12
- ↑ Андрійчук, Комарницький та Іщук, 2003, с. 13
- ↑ Андрійчук, Комарницький та Іщук, 2003, с. 12
- ↑ Андрійчук, Комарницький та Іщук, 2003, с. 12
- ↑ Андрійчук, Комарницький та Іщук, 2003, с. 13
- ↑ Андрійчук, Комарницький та Іщук, 2003, с. 13
- ↑ Андрійчук, Комарницький та Іщук, 2003, с. 14
- ↑ Андрійчук, Комарницький та Іщук, 2003, с. 13-14
- ↑ Андрійчук, Комарницький та Іщук, 2003, с. 13
- ↑ Андрійчук, Комарницький та Іщук, 2003, с. 16
- Андрійчук В.І., Комарницький М.Я., Іщук Ю.Б. (2003). Вступ до дискретної математики. Львів: Видавничий центр ЛНУ ім. І.Франка. с. 254.
- Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ , 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)
- Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)