Теорема Больцано — Веєрштрасса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теоре́ма Больцано — Веєрштра́сса — твердження в математичному аналізі, згідно з яким, із будь-якої обмеженої послідовності можна виділити збіжну підпослідовність.

Про узагальнення цієї теореми в топології. Нехай  — топологічний простір,  — підмножина . Тоді:

  • Якщо компактна, то для будь-якої послідовності з гранична точка цієї послідовності також належить .
  • І навпаки, якщо для кожної послідовності з підмножини гранична точка належить множині, і окрім цього задовільняє другу аксіому зліченності, то є компактною підмножиною.

Зокрема якщо задовільняє другу аксіому зліченності, то буде компактною тоді і лише тоді коли для кожної послідовності з гранична точка належить їй[1][2].

Доведення[ред. | ред. код]

Нехай {xn} — обмежена послідовність, тобто

Розділимо відрізок точкою навпіл. Тоді хоча б один із відрізків -

чи  — містить нескінченну кількість членів послідовності . Позначимо такий відрізок . Аналогічно утворимо відрізки
та , хоча б один з яких теж містить нескінченну кількість членів послідовності .

Позначимо його . Продовжуючи описаний процес, отримуємо послідовність вкладених відрізків

,

довжина яких

.

Оскільки

,

то, згідно з теоремою про принцип вкладених відрізків

,

Виберемо послідовність так. Нехай  — будь-який із членів послідовності , що належить відрізку ;

 — будь-який із членів послідовності , що належить відрізку і такий, що .

Такий член завжди існує, оскільки відрізок містить нескінченно багато членів послідовності .

І взагалі ,  — будь-який із членів послідовності , що належить відрізку і такий, що .

Продовжуючи описаний процес, отримуємо послідовність , причому

і виконують нерівності

Враховуючи, згідно з теоремою про три послідовності, маємо

.

Наслідок[ред. | ред. код]

З будь-якої послідовності можна виділити збіжну в підпослідовність.

Доведення[ред. | ред. код]

Нехай  — довільна послідовність. Якщо  — обмежена, то за теоремою Больцана — Веєрштрасса з неї можна виділити збіжну підпослідовність.

Якщо  — необмежена зверху, то

.

Доведемо, що

.

Справді, оскільки

,

то

,

що й означає виконання співвідношення.

Історія[ред. | ред. код]

Ця теорема доведена чеським математиком Бернардом Больцано в 1817 році, пізніше була незалежно отримана Карлом Веєрштрассом.

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]

  1. Заболоцький, М.В.; Сторож, О.Г.; Тарасюк, С.І. (2008). Математичний аналіз (укр). Київ: "Знання". ISBN 978-966-346-323-0. 
  2. Заболоцький, М.В.; Фединяк, С.І.; Філевич, П.В. (2005). Практикум з математичного аналізу (укр). Львів: Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка. с. 80.