Теорема Лузіна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці теорема Лузіна стверджує, що довільна вимірна функція є неперервною майже на всій своїй області визначення.

Більш формально, нехай для інтервалу [ab] функція:

є вимірною. Тоді для довільного , існує компактна множина така, що функція ƒ є неперервною на E і

Тут Ec позначає доповнення E у множині [ab].

Узагальнення[ред.ред. код]

Нехай вимірний простір, де локально компактний гаусдорфів простір, сигма-алгебра на , що містить борелівську сигма-алгебру, і — деяка регулярна міра. Для -вимірної функції виконується твердження:

Для множини такої, що і довільного існує компактна множина для якої , і — звуження функції на множину K є неперервним.

Література[ред.ред. код]

  • Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
  • Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.
  • Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston 1980, ISBN 3-7643-3003-1.