Тест другої похідної

Тест другої похідної — критерій для визначення коли критична точка дійсно значимої функції від однієї змінної є локальним максимумом чи мінімумом через використання другої похідної в точці.

Твердження: якщо функція f двічі диференційовна в критичній точці x (тобто f'(x) = 0), тоді:

Якщо $\ f^{\prime \prime }(x)<0$ тоді $\ f$ має локальний максимум у $\ x$ .
Якщо $\ f^{\prime \prime }(x)>0$ тоді $\ f$ має локальний мінімум у $\ x$ .
Якщо $\ f^{\prime \prime }(x)=0$ , тест непереконливий.

В останньому випадку, щоб визначити поведінку функції f поблизу x через вищі похідні можна використати теорему Тейлора

Доведення[ред. | ред. код]

Припустимо ми маємо $f''(x)>0$ (доведення для $f''(x)<0$ аналогічне). Згідно з умовою, $f'(x)=0$ . Тоді

0<f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-0}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)}{h}}.

Отже, для достатньо малого h маємо

{\frac {f'(x+h)}{h}}>0

що значить $f'(x+h)<0$ якщо h < 0 (інтуїтивно, f спадає по тому як наближається до x зліва), і $f'(x+h)>0$ якщо h > 0 (інтуїтивно, f зростає як ми йдемо праворуч від x). Тепер з теореми Ферма, $f$ має локальний мінімум у $x$ .

Тест угнутості[ред. | ред. код]

Споріднене, але відмінне використання другої похідної полягає у визначені чи функція опукла або угнута в точці. Однак вона не надає інформації про точки перегину. Конкретно, двічі диференційовна функція f є опуклою якщо $\ f''(x)>0$ і угнутою якщо $\ f''(x)<0$ . Зауважте, що якщо $\ f(x)=x^{4}-x$ , тоді $\ x=0$ має нульову другу похідну і не є при цьому точкою перегину, тобто друга похідна не забезпечує нас достатньою інформацією для визначення чи є точка перегином.