Теорема Тейлора

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Jump to navigation Jump to search
Експоненціальна функція y = ex (суцільна червона лінія) та відповідний многочлен Тейлора четвертого порядку (штрих-пунктирна зелена лінія) поблизу початку координат
Ця стаття про многочлени Тейлора диференційовних функцій. Про ряди Тейлора аналітичних функцій див. відповідну статтю.

Теорема Тейлора дає наближення до функції, що диференціюється k раз, поблизу даної точки за допомогою многочлена Тейлора k-го порядку. Для аналітичних функцій многочлен Тейлора в даній точці є кінцевою послідовністю їх неповного ряду Тейлора, який, у свою чергу, повністю визначає функцію в деякому околі точки. Точний зміст теореми Тейлора до теперішнього часу не узгоджено. Звичайно, існує кілька версій теореми, що застосовуються в різних ситуаціях, і деякі з цих версій містять оцінки помилки, що виникає при наближенні функції за допомогою многочлена Тейлора.

Ця теорема названа на честь математика Брука Тейлора, який сформулював одну з її версій в 1712 році. Явний вираз для помилки наближення було дано набагато пізніше Жозефом Лагранжем. Раніше, в 1671 році, Джеймсом Грегорі вже було згадано наслідок з теореми.

Теорема Тейлора дозволяє опанувати прийомами обчислень початкового рівня, і вона є одним з центральних елементарних інструментів у математичному аналізі. При вивченні математики вона є початковою точкою для вивчення асимптотичного аналізу. Теорема також використовується в математичній фізиці. Вона також узагальнює аналіз функцій декількох змінних і векторні функції f : RnRm для будь-яких вимірів n і m. Це узагальнення теореми Тейлора є базовим для визначення так званих струменів, які з'являються в диференціальній геометрії й в теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Передумови для введення теореми[ред.ред. код]

Графік f(x) = ex (блакитного кольору) з його лінійним наближенням P1(x) = 1 + x (червоного кольору) в точці a = 0.

Якщо дійснозначна функція f(х) є диференційованою в точці a, то вона має лінійне наближення в точці a. Це означає, що існує функція h1 така, що

Тут

це лінійне наближення функції f в точці a. Графік функції y = P1(x) є дотичною до графіку функції f в точці x = a. Помилка наближення є такою

Помітимо, що помилка наближається до нуля трохи скоріше, ніж різниця xa наближається до нуля відповідно до того як x прагне до a.

Графік f(x)=ex (блакитного кольору) з квадратичним наближенням P2(x) = 1 + x + x2/2 (червоного кольору) в точці a = 0. Помітні значні поліпшення наближення.

Якщо ми шукаємо краще наближення f, ми можемо використовувати многочлен другого ступеня замість лінійної функції. Замість знаходження похідної від f в точці a, ми можемо знайти дві похідні, отримавши таким чином многочлен, який так само як і f зростає (або убуває), і так само як і f має опуклість (або увігнутість) в точці a. Многочлен другого ступеня (квадратний многочлен) в цьому випадку буде виглядати наступним чином:

Теорема Тейлора дозволяє переконатися, що квадратичне наближення, в досить малому околі точки a, є кращим наближенням, ніж лінійне. Зокрема,

Тут помилка наближення така

що, за умови обмеженості h2, наближається до нуля швидше, ніж наближається до нуля (xa)2 відповідно до того як x прагне до a.

Наближення функції f(x) = 1/(1 + x2) за допомогою многочленів Pk порядку k = 1, …, 16 відносно точки x = 0 (червоний) та точки x = 1 (салатовий колір). Наближення взагалі не поліпшується за межами (-1,1) і (1-√2,1+√2) відповідно.

Таким чином, якщо використовувати многочлени все вищого ступеня, то будуть отримані все кращі наближення до f. Загалом, помилка в наближенні функції за допомогою поліномів порядку k буде наближатися до нуля трохи швидше, ніж наближається до нуля (xa)k відповідно до того як x прагне до a.

Цей наслідок має асимптотичну природу: він лише повідомляє, що помилка Rk наближення за допомогою многочленів Тейлора k-го порядку Pk наближається до нуля швидше, ніж ненульовий многочлен k-го порядку відповідно до того як xa. Він не повідомляє, наскільки великою є помилка в будь-якому околі центру наближення, але для цього існує формула для залишку (наведена нижче).

Найбільш повні версії теореми Тейлора, як правило, призводять до рівномірних оцінок помилки наближення в малому околі центра наближення, але ці оцінки не є адекватними для околів, які занадто великі, навіть якщо функція f є аналітичною. У цій ситуації слід вибирати кілька многочленів Тейлора з різними центрами наближення, щоб мати надійне Тейлорове наближення до вихідної функції (див. анімований малюнок вище). Можлива також ситуація, коли зростання порядку многочлена не збільшує якість наближення взагалі, навіть якщо функція f диференціюється нескінченну кількість разів. Такий приклад наведено нижче.

Теорема Тейлора для функцій від однієї дійсної змінної[ред.ред. код]

Формулювання теореми[ред.ред. код]

Точне формулювання більшості базових версій теореми наступне.

Теорема Тейлора[1] Нехай k ≥ 1 — ціле, і нехай функція f : RR — k раз диференційовна в точці aR. Тоді існує функція hk : RR така, що

Многочлен, що виникає в теоремі Тейлора, є многочленом Тейлора k-го порядку

функції f в точці a.

Теорема Тейлора описує асимптотичну поведінку залишкового члену

який є помилкою при знаходженні наближення функції f за допомогою многочленів Тейлора. Використовуючи «O» велике та «o» маленьке, теорему Тейлора можна сформулювати так

Формули для залишку[ред.ред. код]

Існує декілька точних формул для залишкового члена Rk многочлена Тейлора, найбільш загальна з яких наступна.

Залишок у формі середнього значення. Нехай функція f : RR — k+1 раз диференційовна на інтервалі та неперервна на відрізку . Тоді

Це залишковий член у формі Лагранжа[2]. За тих же умов

Це залишковий член у формі Коші[3].


Ці уточнення теореми Тейлора зазвичай виводяться за допомогою формули про скінченні прирости.

Можна також знайти й інші вирази для залишку. Наприклад, якщо G(t) є неперервною на закритому інтервалі та диференційовною з похідною, що не прагне до нуля на відкритому інтервалі між a і x, то

для деякого числа ξ між a і x. Ця версія охоплює форми Лагранжа та Коші як окремі випадки, і виводиться за допомогою теореми Коші про среднє значення (розширеної версії теореми Лагранжа про среднє значення).

Запис формули для залишку в інтегральної формі є більш загальним, ніж попередні формули, і вимагає розуміння інтегральної теорії Лебега. Однак вона зберігається також для інтегралу Рімана за умови, що похідна порядку (k+1) від f є неперервною на закритому інтервалі [a,x].

Інтегральна форма[4] запису формули для залишку Нехай f(k) — абсолютно неперервна на закритому інтервалі між a і x. Тоді

Внаслідок абсолютної неперервності f(k) на закритому інтервалі між a і x, її похідна f(k+1) існує як L1-функція, і цей наслідок може бути отриманий за допомогою формальних обчислень з використанням теореми Ньютона — Лейбніца та інтегрування частинами.

Оцінки залишку[ред.ред. код]

На практиці часто буває корисно чисельно оцінити величину залишкового члена наближення Тейлора.

Будемо вважати, що f — (k+1)-раз неперервно диференційовна на інтервалі I, що містить a. Будемо вважати, що існує дійсні постійні числа q і Q такі, що

на всьому протязі I. Тоді залишковий член задовольняє нерівності[5]

якщо x > a, і подібна оцінка, якщо x < a. Це простий наслідок з формули залишку в формі Лагранжа. Зокрема, якщо

на інтервалі I = (ar,a+r) з деяким r>0, то

для всіх x∈(ar,a+r). Друга нерівність називається рівномірною оцінкою, тому що вона зберігає рівномірність для всіх x на інтервалі (ar,a+r).

Приклад[ред.ред. код]

Наближення ex (блакитний) за допомогою многочленів Тейлора Pk порядку k=1,…,7 з центром в точці x=0 (червоний).

Припустимо, ми хочемо знайти наближення функції f(x) = ex на інтервалі [−1,1] й переконатися, що помилка не перевищує значення 10−5. У цьому прикладі вважаємо, що нам відомі такі властивості експоненційної функції:

З цих властивостей випливає, що f(k)(x) = ex для всіх k, і зокрема, f(k)(0) = 1. Звідси випливає, що многочлен Тейлора k-го порядку функції f в точці 0 та його залишковий член у формі Лагранжа записується за допомогою формули

де ξ — це деяке число між 0 і x. Оскільки ex зростає згідно (*), ми можемо використовувати ex ≤ 1 для x ∈ [−1, 0], щоб оцінити залишок на підінтервалі [−1, 0]. Для знаходження верхньої межі значення залишку на інтервалі [0,1], можемо використовувати властивість eξ<<ex для 0<ξ<x, щоб оцінити

використовуючи многочлен Тейлора другого порядку. Висловлюючи з цієї нерівності ex, приходимо до висновку, що

прийнявши, що чисельник приймає максимальне з усіх своїх можливих значень, а знаменник приймає мінімальне з усіх своїх можливих значень. Використовуючи ці оцінки значень ex, ми бачимо, що

і необхідна точність досягається в тому випадку, коли

(де факторіал 7!=5 040 и 8!=40 320.) Зрештою, теорема Тейлора призводить до наближення

Відзначимо, що це наближення дозволяє обчислити значення e≈2.71828 з точністю до п'ятого знака після коми.

Аналітичність[ред.ред. код]

Розкладання Тейлора для дійсних аналітичних функцій[ред.ред. код]

Нехай IR — відкритий інтервал. За означенням, функція f:IR — дійсна аналітична, якщо вона на даній ділянці визначена збіжністю степеневого ряду. Це означає, що для кожного aI існує деяке r > 0 і послідовність коефіцієнтів ckR така, що (ar, a + r) ⊂ I і

Загалом, радіус збіжності степеневого ряду може бути обчислено за формулою Коші–Адамара

Цей результат базується на порівнянні з нескінченно спадною геометричною прогресією, і той же самий метод показує, що якщо степеневий ряд, розкладений по a, збігається для деякого bR, він повинен збігатися рівномірно на закритому інтервалі [arb, a + rb], де rb = |ba|. Тут ми тільки розглянули збіжність степеневого ряду, і не виключено, що область (aR,a + R) розширюється за межі області визначення I функції f.

Многочлен Тейлора від дійсної аналітичної функції f в точці a

це просте усіканням визначеного на деякому інтервалі відповідного степеневого ряду цієї функції, і залишковий член на даному інтервалі подається як аналітична функція

Тут функція

також є аналітичною, оскільки її степеневий ряд має той же радіус збіжності, що й вихідний ряд. За умови, що [ar, a + r]I і r < R, всі ці ряди збігаються рівномірно на інтервалі (ar, a + r). Авжеж, у випадку аналітичних функцій можна оцінити залишковий член Rk(x) шляхом «обрізання» послідовності похідних f′(a) у центрі наближення, але при використанні комплексного аналізу з'являються й інші можливості, які описані нижче.

Теорема Тейлора та збіжність ряду Тейлора[ред.ред. код]

Існує розбіжність між многочленами Тейлора диференційовних функцій і рядами Тейлора аналітичних функцій. Можна розглядати (справедливо) ряд Тейлора

нескінченну кількість разів диференційовної функції f:RR як її «многочлен Тейлора нескінченно великого порядку» в точці a. Тепер оцінка залишку многочлена Тейлора має на увазі, що для будь-якого порядку k й для будь-якого r>0 існує постійна Mk,r>0 така, що

для кожного x∈(a-r, a+r). Іноді ці постійні можуть бути обрані таким чином, що Mk,r → 0, коли k → ∞ і r залишається незмінною. Тоді ряд Тейлора функції f збігається рівномірно до деякої аналітичної функції

Тут необхідно згадати важливий момент. Можлива ситуація, коли нескінченну кількість разів диференційовна функція f має ряд Тейлора в точці a, який збігається в деякому околі точки a, але гранична функція Tf відрізняється від f. Важливим прикладом цього феномену є такий

Використовуючи ланцюгове правило можна показати індуктивно, що для будь-якого порядку k,

для деякого многочлену pk. Функція прагне до нуля швидше, ніж будь-який поліном, відповідно до того, як x → 0, тоді f є нескінченну кількість разів диференційовною й f(k)(0) = 0 для кожного додатнього цілого k. Тепер оцінки для залишку многочлена Тейлора функції f показують, що ряд Тейлора збігається рівномірно до нульової функції на всій дійсній числовій вісі. Не буде помилки в наступних твердженнях:

  • Ряд Тейлора функції f збігається рівномірно до нульової функції Tf(x)=0.
  • Нульова функція є аналітичною, і кожний коефіцієнт її ряду Тейлора дорівнює нулю.
  • Функція f є нескінченну кількість разів диференційовною, але не аналітичною.
  • Для будь-якого kN и r>0 існує Mk, r>0 таке, що залишковий член многочлена Тейлора k-го порядку функції f задовільняє умові (*).

Теорема Тейлора в комплексному аналізі[ред.ред. код]

Теорема Тейлора узагальнює функції , які є комплексно диференційовними на відкритій підмножині UC комплексної площини. Однак її корисність знижена іншими теоремами комплексного аналізу, а саме: більш повні версії подібних результатів можуть бути виведені для комплексно диференційовних функцій f : UC з використанням інтегральної формули Коші як показано нижче.

Нехай r > 0 таке, що замкнене коло B(z, r) ∪ S(z, r) міститься в U. Тоді інтегральна формула Коші з додатньою параметризацією γ(t)=reit околу S(z, r) с t ∈ [0,2π] дає

Тут всі підінтегральні вирази є неперервними на околі S(z, r), що обґрунтовує диференціювання під знаком інтеграла. Зокрема, якщо f — один раз комплексно диференційовна на відкритій множині U, то вона фактично нескінченну кількість разів комплексно диференційовна на U. Маємо оцінку Коші[6]

для будь-якого zU и r > 0 таку, що B(z, r) ∪ S(c, r) ⊂ U. Ці оцінки означають, що комплексний ряд Тейлора

функції f збігається рівномірно в будь-якому колі B(c, r) ⊂ U з S(c, r) ⊂ U в деякій функції Tf. Крім того, використовуючи формулу інтегрування по контуру для похідних f(k)(c),

таким чином, будь-яка комплексно диференційовна функція f на відкритій множині UC є комплексно аналітичною. Все те, що було написано вище для дійсних аналітичних функцій справедливо також й для комплексних аналітичних функцій, де відкритий інтервал I змінено на відкриту підмножину UC 1 a — центровані інтервали (ar, a + r) змінено на c — центровані кола B(c, r). Зокрема, розкладання Тейлора зберігається у вигляді

де залишковий член Rk — комплексно аналітичний. При розгляданні рядів Тейлора методи комплексного аналізу дозволяють отримати кілька більш потужних результатів. Наприклад, використовуючи інтегральну формулу для будь-якої додатньо орієнтованої жорданової кривої γ, яка параметризує границю ∂WU області WU, можна отримати вираз для похідних f(j)(c) як показано вище, і злегка змінивши розрахунки для Tf(z) = f(z), прийти до точної формули

Важлива особливість тут в тому, що якість наближення за допомогою многочлена Тейлора в області WU є мажоріруємим значенням функції f на границі ∂WU. Також, застосовуючи оцінки Коші до виразу залишку ряду, отримуємо рівномірні оцінки

Приклад[ред.ред. код]

Графік комплексної функції f(z) = 1/(1 + z2). Модуль показано висотою підйому та аргумент показано кольором: ціан=0, синій=π/3, фіолетовий=2π/3, червоний=π, жовтий=4π/3, зелений=5π/3.

Функція f:RR, що визначається рівнянням

дійсна аналітична, тобто в даній області визначається своїм рядом Тейлора. Один з малюнків, наведених вище, показує, що деякі функції, що задаються дуже просто, не можуть буть виражені за допомогою наближення Тейлора в околі центру наближення, якщо цей окіл занадто великий. Цю властивість легко зрозуміти в рамках комплексного аналізу. Більш конкретно, функція f розширюється до мероморфної функції

на компактифіцированій комплексній площині. Вона має прості вісі в точках z=i и z=−i, і вона всюди аналітична. ЇЇ ряд Тейлора, що має центр в z0, збігається на будь-якому колі B(z0,r) с r<|z-z0|, де той же ряд Тейлора збігається при zC. Внаслідок цього ряд Тейлора функції f, що має центр в точці 0, збігається на B(0,1) і він не збігається для будь-якого zC с |z|>1 внаслідок наявних вісей в точках i и −i. За тих же причин ряд Тейлора функції f, що має центр в точці 1, збігається на B(1,√2) і не збігається для будь-якого zC с |z-1|>√2.

Узагальнення теореми Тейлора[ред.ред. код]

Вищі порядки диференційовності[ред.ред. код]

Функція f:RnR — диференційовна в точці aRn тоді й тільки тоді, коли існує лінійна форма L : RnR і функція h : RnR така, що

Якщо цей випадок має місце, то L = df(a) є диференціал функції f в точці a. Крім того, коли частинні похідні функції f існують в точці a, то диференціал f в точці a визначено формулою

Вводячи мультиіндекс, запишемо

для αNn і xRn. Якщо всі частинні похідні k-го порядку функції f : RnR — неперервні в aRn, то згідно з теоремою Клеро[en], можна змінити порядок змішаних похідних в точці a, тоді запис

для частинних похідних вищих порядків є правомірним у цій ситуації. Теж саме є правильним, якщо всі частинні похідні (k − 1)-го порядку функції f існують в деякому околі точки a і диференційовні в точці a. Тоді можна сказати, що функція f — k разів диференційовна в точці a .

Теорема Тейлора для функцій багатьох змінних[ред.ред. код]

Теорема Тейлора для функцій багатьох змінних. Нехай f : RnR — k разів диференційовна функція в точці aRn. Тоді існує hα : RnR така, що

Якщо функція f : RnR — k+1 разів неперервно диференційовна в замкненій кулі B, то можна отримати точну формулу для залишку розкладання Тейлора до частинних похідних (k+1)-го порядку від f в цьому околі. А саме

У цьому випадку, внаслідок неперервності частинних похідних (k+1)-го порядку на компактній множині B, безпосередньо отримуємо

Докази[ред.ред. код]

Доказ теореми Тейлора для однієї дійсної змінної[ред.ред. код]

Нехай[7]

де, як вказано в формулюванні теореми Тейлора,

Достатньо показати, що

Доказ засновано на повторюваному застосуванні правила Лопіталя. Помітимо, що кожне j = 0,1,…,k−1, . Звідси кожна наступна похідна чисельника функції прагне до нуля в точці , і теж саме справедливо для знаменника. Тоді

де перехід від передостаннього виразу до останнього випливає з визначення похідної в точці x = a.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Hazewinkel, Michiel, ред. (2001). t/t092300. Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4. 
  2. Klein, 1998, §20.3; Apostol, 1967, §7.7.
  3. Apostol, 1967, §7.7.
  4. Apostol, 1967, §7.5.
  5. Apostol, 1967, §7.6
  6. Rudin, 1987, § 10.26.
  7. Stromberg, 1981

Джерела[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]