Тест другої часткової похідної

Тест другої часткової похідної — метод використовуваний для визначення чи є критична точка функції максимумом, мінімумом чи сідловою точкою.

Тест

Функція від двох змінних

Гессіан дає наближення для функції у критичній точці за допомогою многочлена другого степеня.

Припустимо, що f(x, y) — диференційовна дійснозначима функція двох змінних чиї часткові похідні існують. Матриця Гессе H для f це 2 × 2 матриця часткових похідних f:

H(x,y)={\begin{pmatrix}f_{xx}(x,y)&f_{xy}(x,y)\\f_{yx}(x,y)&f_{yy}(x,y)\end{pmatrix}}

.

Нехай D(x, y) буде її визначником:

D(x,y)=\det(H(x,y))=f_{xx}(x,y)f_{yy}(x,y)-\left(f_{xy}(x,y)\right)^{2}

.

Насамкінець, припустимо що (a, b) це критична точка f (тобто, f_x(a, b) = f_y(a, b) = 0). Тоді тест другої часткової похідної стверджує таке:^[1]

Якщо $D(a,b)>0$ і $f_{xx}(a,b)>0$ тоді $(a,b)$ є локальним мінімумом f.
Якщо $D(a,b)>0$ і $f_{xx}(a,b)<0$ тоді $(a,b)$ є локальним максимумом f.
Якщо $D(a,b)<0$ тоді $(a,b)$ є сідловою точкою f.
Якщо $D(a,b)=0$ тоді тест другої похідної не є достатним, і точка (a, b) може бути мінімумом, максимумом або сідловою точкою.

Обґрунтування

Скористаємось розкладенням у ряд Тейлора:

$\Delta f\simeq (x-x_{0})f_{x}+(y-y_{0})f_{y}+{\frac {1}{2}}(x-x_{0})^{2}f_{xx}+(x-x_{0})(y-y_{0})f_{xy}+{\frac {1}{2}}(y-y_{0})^{2}f_{yy}.$

У критичній точці

$\Delta f$	$\simeq$	${\frac {1}{2}}(x-x_{0})^{2}f_{xx}+(x-x_{0})(y-y_{0})f_{xy}+{\frac {1}{2}}(y-y_{0})^{2}f_{yy}$
	$=$	${\frac {(y-y_{0})^{2}}{2}}{\bigg [}{\bigg (}{\frac {x-x_{0}}{y-y_{0}}}{\bigg )}^{2}f_{xx}+{\bigg (}{\frac {x-x_{0}}{y-y_{0}}}{\bigg )}f_{xy}+f_{yy}{\bigg ]}.$

Очевидно, що ми уникаємо точки $y=y_{0},$ інакше це не спрацює. Тепер введемо заміну $z={\frac {x-x_{0}}{y-y_{0}}},$ маємо

$\Delta f={\frac {(y-y_{0})^{2}}{2}}g(z).$

Оскільки ${\frac {(y-y_{0})^{2}}{2}}\geq 0,$ знак $\Delta f$ повністю визначає знак $g(z).$

Допоміжна лема

Розглянемо квадратичну $(A\neq 0)$ функцію $g(x)=Ax^{2}+2Bx+C.$

Якщо $AC-B^{2}>0,$ і $A>0$ або $C>0,$ тоді $g(x)>0$ для всіх $x.$
Якщо $AC-B^{2}>0,$ і $A<0$ або $C<0,$ тоді $g(x)<0$ для всіх $x.$
Якщо $AC-B^{2}<0,$ тоді існують значення $x$ такі, що $g(x)>0$ і такі, що $g(x)<0.$

У виродженому випадку потрібен додатковий тест за допомогою вищих похідних.

Заувага, глобальний мінімум чи максимум функції не завжди є у критичній точці. Слід перевірити границі й нескінченність.

Доведення:

Нехай $AC-B^{2}>0.$ Якщо $A>0,$ тоді $\lim _{x\rightarrow \infty }g(x)=\infty ,$ що означає, що $g(x)>0$ для деякого $x.$ З іншого боку, якщо $C>0$ тоді $g(0)>0,$ отже знов, ми знаємо, що існує $x$ коли $g(x)>0.$ Якщо $g$ і набуває від'ємних значень, то виходить, що $g$ мусить десь обертатись у нуль. Ми можемо знайти коріні квадратного рівняння, тобто значення $x$ де $g(x)=0:$
$x={\frac {-2B\pm {\sqrt {(2B)^{2}-4AC}}}{2A}}={\frac {-B\pm {\sqrt {B^{2}-AC}}}{A}}.$
$AC-B^{2}>0,$ це значить, що $B^{2}-AC<0,$ тому значення $x$ , отримані з цієї формули, не є дійсними (бо містять ненульову уявну частину). Це означає, що $g(x)$ ніколи не обертається на нуль для будь-якого $x,$ отже $g$ ніколи не перетинає вісь $x,$ тому $\forall z,g(z)>0.$
Цей випадок майже ідентичний попередньому.
Якщо $AC-B^{2}<0,$ то $g(x)$ перетинає вісь $x$ двічі, тобто вона має як додатні так і від'ємні значення.