Трикутник Серпінського

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Трикутник Серпінського

Трикутник Серпінськогофрактал, один із двовимірних аналогів множини Кантора. Його математичний опис був запропонований польським математиком Вацлавом Серпінським в 1915 році[1]. Цей трикутник є одним з найбільш ранніх прикладів фракталів, відомих з середньовіччя.

Даний фрактал відносять до фракталів, які отримують поетапним вилученням частин генератора, тобто до геометричних. Також відомий як «серветка» або «решітка» Серпінського.

Існує кілька способів побудови цього фракталу.

Побудова[ред. | ред. код]

Побудова трикутника Серпінського

Існує дуже багато способів побудови трикутника Серпінського, їх можна поділити на такі типи:

  • Геометричні методи;
  • Метод ігор;
  • Трикутник Серпінського як результат перетворення трикутника Паскаля;
  • Аналітичне задання фракталів з допомогою комплексних чисел;
  • Задання фракталів за допомогою систем ітерованих функцій;
  • Побудова через кола, круги та ін.;

Найпростішим способом побудови є такий:

Береться рівносторонній трикутник. На першому кроці видаляється трикутник з вершинами в середині сторін початкового трикутника. На другому кроці аналогічні трикутники із трьох менших трикутників, які залишилися після першого кроку, і т. д.[2] Після нескінченного повторення цієї процедури, від суцільного трикутника залишається підмножина — трикутник Серпінського.

Властивості[ред. | ред. код]

  • Трикутник Серпінського замкнутий.
  • Трикутник Серпінського має топологічну розмірність 1.
  • “Площа”  трикутного килима Серпінського дорівнює нулю.
  • Важливою властивістю трикутника Серпінського є його самоподібність, адже він складається з трьох своїх копій, зменшених вдвічі.
  • Має розмірність Хаусдорфа . Зокрема,

Цікаві факти[ред. | ред. код]

  • Якщо в трикутнику Паскаля всі непарні числа пофарбувати в чорний колір, а парні — в білий, то утворюється трикутник Серпінського.
  • Утворення, схожі на трикутник Серпінського, виникає в грі Життя з довгої вертикальної лінії.
  • Трикутник Серпінського — це множина тих точок вихідного трикутника що не належать жодному з центральних трикутників довільного рангу, тобто нескінченність, що складається з тих точок, що не відкидаються ні на якому з цих етапів.
  • Зображення трикутника Серпінського у 1919 р. стали мотивом кількох графічних творів відомого українського графіка Георгія Нарбута
  • Варіації на тему трикутника Серпінського використані в оздобленні інтер'єру синагоги Бен-Езра, Каїр, Єгипет
  • На основі трикутника Серпінського можуть бути виготовлені багатодіапазонні фрактальні антени.[2][3]
  • Чотири перші ітерації фрактальних трикутників Серпінського присутні в орнаментах геометричної мозаїки стиля косматеско в середньовічних соборах Італії (з XII століття)[4][5][6], арабських та перських інтер'єрах[4].

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. W. Sierpinski, Sur une courbe dont tout point est un point de ramification.//Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. - Paris. – Tome 160, Janvier - Juin 1915. - Pp. 302 – 305. - [1]
  2. а б Слюсар В.И. Фрактальные антенны. // Радиоаматор. – 2002. - № 9. – С. 54 -56., Конструктор. – 2002. - № 8. – С. 6 - 8. [2]
  3. Вишневский В. М., Ляхов А. И., Портной С. Л., Шахнович И. В. Широкополосные беспроводные сети передачи информации. — М.: Техносфера. — 2005.- C. 498—569. [3]
  4. а б The grammar of ornament. Day and Son, London. - 1856. [4]
  5. Conversano Elisa, Tedeschini Lalli Laura. Sierpinsky triangles in stone, on medieval floors in Rome.// Aplimat – Journal of Applied Mathematics. Volume 4 (2011), Number 4. – P. 113 – 122. - [5]
  6. Paola Brunori, Paola Magrone, and Laura Tedeschini Lalli. Imperial Porphiry and Golden Leaf: Sierpinski Triangle in a Medieval Roman Cloister.//ICGG 2018 - Proceedings of the 18th International Conference on Geometry and Graphics. – Pp. 595 – 609. -[6]

Література[ред. | ред. код]