Число Каталана

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Числа Каталана — числова послідовність, що зустрічається в багатьох задачах комбінаторики. Послідовність названа на честь бельгійского математика Каталана, хоча була відома ще Л. Ейлеру.

Перших декілька чисел Каталана:

1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452 … (Послідовність A000108 з Енциклопедії цілочисельних послідовностей)

Означення[ред.ред. код]

n-те число Каталана \,\! C_n можна визначити одним із наступних способів:

Розбиття шестикутника (C4=14)
Наприклад, для n=3 існує 5 таких послідовностей:
((())), ()(()), ()()(), (())(), (()())
тобто C_3=5.
  • Кількість способів з’єднання 2n точок на поверхні n неперетинними хордами.

· Кількість неізоморфних упорядкованих бінарних дерев з коренем з n+1 листом.

Властивості[ред.ред. код]

C_0 = 1\,\! і \qquad C_n=\sum_{i=0}^{n-1}C_i C_{n-1-i} для n\ge 1.\,\!

Це співвідношення легко отримати, помітивши, що будь-яка непуста правильна структура однозначно представлена в формі w=(w1)w2, де w1, w2 — правильні структури.

\sum_{n=0}^{\infty} C_n z^n = \frac{1-\sqrt{1-4 z}}{2 z}
C_n = \frac{1}{n+1}{2 n \choose n} = {2 n \choose n} - {2 n \choose n-1}.

Посилання[ред.ред. код]