Гіпотеза Пуанкаре
| Проблеми тисячоліття |
|---|
| Рівність класів P і NP |
| Гіпотеза Годжа |
| Гіпотеза Пуанкаре* |
| Гіпотеза Рімана |
| Квантова теорія Янга — Мілса |
| Рівняння Нав'є — Стокса |
| Гіпотеза Берча і Свіннертона-Даєра |
| * доведені |
Гіпотеза Пуанкаре — найвідоміша задача топології. Неформально кажучи, вона стверджує, що кожен «тривимірний об'єкт», що має деякі властивості тривимірної сфери (наприклад, кожну петлю всередині нього можливо стягнути в точку), має бути такою сферою з точністю до деформації.
Анрі Пуанкаре представив гіпотезу в 1887 році. Відразу після появи вона схвилювала громадськість. Гіпотеза звучить так: «Будь-який замкнутий n-вимірний многовид гомотопічно еквівалентний n-вимірній сфері тоді і тільки тоді, коли він гомеоморфний їй»[1].
Коротко гіпотезу можно пояснити так. Уявіть трохи спущену повітряну кульку. Їй дуже легко можна надати необхідну форму: овальної сфери або куба, людини або тварини. Доступна різноманітність форм вражає. Однак існує форма, яка є універсальною, — куля, і форма, яку неможливо надати кульці, не вдаючись до розривів, — бублик (форма з діркою). Згідно з гіпотезою, предмети, у формі яких не передбачено отвір наскрізного типу, відрізняються однаковою основою. Приклад — куля. При цьому тіла з отворами (в математиці їх називають — тор) відрізняються властивістю сумісності один з одним, але не з суцільними об'єктами. Так, з пластиліну можна виліпити собаку або кішку, потім без проблем можна перетворити фігурку в кулю, а потім — в зайця або яблуко. При цьому можна обійтися без розривів. Якщо ж спочатку був виліплений бублик, то з нього може вийти «вісімка», надати масі форму кулі вже не вдасться. Ці приклади наочно демонструють несумісність сфери і тора[1].
Спроби довести гіпотезу Пуанкаре, як успішні, так і невдалі, привели до численних просувань у топології многовидів. Доведення гіпотези Пуанкаре (і загальнішої гіпотези Терстона про геометризацію), опубліковано в 2002 р. Григорієм Перельманом (медаль Філдса 2006 р.)
В 2006 журнал Science назвав доказ Григорієм Перельманом гіпотези Пуанкаре науковим «проривом року» (англ. Breakthrough of the Year). Це перша робота з математики, що заслужила таке звання.
- На математичному Евересті вирують пристрасті. Дзеркало тижня № 42 (621) 4 — 10 листопада 2006 [Архівовано 17 листопада 2015 у Wayback Machine.]
- Російському математику-відлюднику Перельману присудили Премію тисячоліття [Архівовано 22 березня 2010 у Wayback Machine.]
 |
|
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |