Фільтр (порядок)

Два фільтри, позначені синім та зеленим кольором,
та ультрафільтр в який вони входять, позначено голубим.

Фільтр — в теорії порядку, це підмножина $\ F$ частково впорядкованої множини $(P,\leq ),$ яка є верхньою множиною спрямованою вниз.

Фільтр — поняття двоїсте до ідеалу.

Визначення

Підмножина F частково впорядкованої множини (P,≤) є фільтром, якщо виконуються умови:

1. $\forall x\in F,y\in P:x\leq y\Rightarrow y\in F$ (F є верхньою множиною)
2. $\forall x,y\in F:\exists z\in F:\;(z\leq x)\land (z\leq y)$. (F є спрямованою вниз множиною)

Спочатку поняття фільтру виникло для решіток. У випадку решіток, вищенаведене означення еквівалентне наступному твердженню:

Підмножина F решітки (P,≤) є фільтром, тоді і тільки тоді, коли це верхня множина, замкнена щодо застосування операції інфімуму скінченну кількість разів.

Тобто, для будь-яких x, y з F, x ∧ y також належить F.

Поняття двоїсте до фільтру, тобто, те що ми отримаємо, замінивши для фільтру всі ≤ на обернені і ∧ на ∨, це — ідеал.

Найменший фільтр, що містить елемент p називається головним фільтром породженим цим елементом. Формально $\{x\in P:\;p\leq x\},$ позначається $~\uparrow p.$

Простий фільтр — фільтр, доповненням якого є ідеал.

Максимальний фільтр чи ультрафільтр — фільтр, для якого не існує більшого фільтра.

Фільтри на множині

Для довільної множини, її булеан є частково-впорядкованою множиною за включенням, таким чином можна вводити поняття фільтра та ідеала для множини.

База фільтра

Нехай ${\mathfrak {F}}$ - фільтр на множині $X$. Сімейство підмножин ${\mathfrak {B}}\subset {\mathfrak {F}}$ називається базою (базисом) фільтра ${\mathfrak {F}}$, якщо кожний елемент фільтра ${\mathfrak {F}}$ містить деякий елемент бази ${\mathfrak {B}}$, тобто для кожного $Y\in {\mathfrak {F}}$ існує $B\in {\mathfrak {B}}$ таке, що $B\subset Y$. При цьому фільтр ${\mathfrak {F}}$ збігається з сімейством усіх можливих надмножин множин з ${\mathfrak {B}}$. Зокрема, фільтри, які мають спільну базу, збігаються. Кажуть також, що база ${\mathfrak {B}}$ породжує фільтр ${\mathfrak {F}}$

Дві бази ${\mathfrak {B}}$ та ${\mathfrak {B}}'$ називаються еквівалентними, якщо будь-який елемент $B\in {\mathfrak {B}}$ містить у собі деякий елемент $B'\in {\mathfrak {B}}'$, і навпаки, будь-який елемент $B'\in {\mathfrak {B}}'$ містить у собі деякий елемент $B\in {\mathfrak {B}}$

Еквівалентні бази породжують один і той самий фільтр. Серед усіх баз, еквівалентних даній базі ${\mathfrak {B}}$ існує максимальна за включенням база, а саме, породжений цією базою фільтр ${\mathfrak {F}}$. Таким чином, між класами еквівалентних баз і фільтрами існує природна бієкція.

Порівняння фільтрів

Нехай на множині $X$ задані два фільтра ${\mathfrak {F}}$ і ${\mathfrak {F}}'$. Кажуть, що фільтр ${\mathfrak {F}}'$ мажорує фільтр ${\mathfrak {F}}$ (${\mathfrak {F}}'$ сильніший ${\mathfrak {F}}$, ${\mathfrak {F}}'$ тонший ${\mathfrak {F}}$), якщо ${\mathfrak {F}}'\supset {\mathfrak {F}}$. У цьому випадку також говорять, що фільтр ${\mathfrak {F}}$ мажорується фільтром ${\mathfrak {F}}'$ (${\mathfrak {F}}$ слабший ${\mathfrak {F}}'$, ${\mathfrak {F}}$ грубіший ${\mathfrak {F}}'$).

Говорять, що база ${\mathfrak {B}}'$ сильніше бази ${\mathfrak {B}}$, і записують ${\mathfrak {B}}'\geqslant {\mathfrak {B}}$, якщо кожний елемент $B\in {\mathfrak {B}}$ містить у собі деякий елемент $B'\in {\mathfrak {B}}'$. База ${\mathfrak {B}}'$ сильніша бази ${\mathfrak {B}}$ тоді і тільки тоді, коли фільтр ${\mathfrak {F}}'$, породжений базою ${\mathfrak {B}}'$, сильніший фільтра ${\mathfrak {F}}$, породженого базою ${\mathfrak {B}}$.

Бази ${\mathfrak {B}}$ та ${\mathfrak {B}}'$ еквівалентні тоді і тільки тоді, коли одночасно ${\mathfrak {B}}'\geqslant {\mathfrak {B}}$ та ${\mathfrak {B}}\geqslant {\mathfrak {B}}'$.

Фільтри у топологічних просторах

Нехай $(X,{\mathcal {T}})$ -- топологічний простір і ${\mathfrak {F}}$ --- фільтр на множині $X$. Точка $a\in X$ називається границею фільтра ${\mathfrak {F}}$, якщо кожний окіл $V(a)$ точки $a$ належить фільтру ${\mathfrak {F}}$. Позначення: $\lim {\mathfrak {F}}=a$. Для фільтра ${\mathfrak {F}}$, породженого базою ${\mathfrak {B}}$, рівність $\lim {\mathfrak {F}}=a$ виконується тоді і тільки тоді, коли для кожного околу $V(a)$ повністю вміщає деяку множину з ${\mathfrak {B}}$.

У гаусдорфовому топологічному просторі фільтр може мати не більше однієї границі.

Точка $a\in X$ називається граничною точкою (точкою дотику, частковою границею) фільтра ${\mathfrak {F}}$, якщо $a$ належить замиканню кожної множини з ${\mathfrak {F}}$, тобто $a\in {\overline {Y}}$ для всіх $Y\in {\mathfrak {F}}$. Рівносильно, для кожного околу $V(a)$ точки $a$ і для кожної $Y\in {\mathfrak {F}}$ виконується $V(a)\cap Y\neq \varnothing$. Кожна гранична точка ультрафільтра є його границею.

В компактному топологічному просторі кожен фільтр має граничну точку, а кожен ультрафільтр має границю.

Дивись також

• Ідеал (порядок)
• Ультрафільтр

Джерела

• Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий ; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е. — Москва : Наука, 1984. — 568 с.(рос.)