Характеристика (алгебра)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці, характеристикою кільця\ R, позначається \operatorname{char} R , називається найменше ціле додатне \ n, для якого виконується:

\underbrace{1+\cdots+1}_{n \text{ summands}} = 0

Тобто сума \ n мультиплікативних нейтральних елементів кільця дорівнює адитивному нейтральному елементу кільця.

Якщо таке \ n не існує, тоді \ R називається кільцем характеристики 0.

Приклади[ред.ред. код]

Властивості[ред.ред. код]

  • Якщо кільце \ R \neq \{0\} з одиницею і без дільників нуля має додатну характеристику n, то n - просте число. Отже, характеристика будь-якого поля K є або 0, або просте число p. У першому випадку поле K містить як підполе поле ізоморфне полю раціональних чисел \Q, у другому випадку поле K містить як підполе поле ізоморфне \mathbb{F}_p. У обох випадках це підполе називається простым полем (що міститься в K).
  • Характеристикою скінченного поля є просте число. Натомість з того, що характеристика поля скінченна, не випливає, що поле скінченне. Прикладами таких полів є поле раціональних функцій над \mathbb{F}_p і замикання, алгебри поля \mathbb{F}_p.
  • Якщо \ R - комутативне кільце простої характеристики \ p, то (a + b)^{p^n} = a^{p^n} + b^{p^n} для всех a, b \in R, n \in \N.

Література[ред.ред. код]

  • Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
  • Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
  • Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.