Характеристика (алгебра)

В математиці, характеристикою кільця $R$, позначається $\operatorname {char} R$, називається найменше ціле додатне $n$, для якого виконується:

$\underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ доданків}}}=0$

Тобто сума $n$ мультиплікативних нейтральних елементів кільця дорівнює адитивному нейтральному елементу кільця.

Якщо такого $n$ не існує, тоді $R$ називається кільцем характеристики $0$.

Приклади

• Характеристики кільця цілих чисел $\mathbb {Z}$, поля раціональних чисел $\mathbb {Q}$, поля дійсних чисел $\mathbb {R}$, поля комплексних чисел $\mathbb {C}$ рівні нулю.
• Характеристика кільця лишків $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ рівна $n$.
• Характеристика скінченного поля $\mathbb {F} _{p^{m}}$, де $p$ — просте число, $m$ — додатне ціле число, рівна $p$.

Властивості

• Якщо кільце $R\neq \{0\}$ з одиницею і без дільників нуля має додатну характеристику $n$, то $n$ — просте число. Отже, характеристика будь-якого поля $K$ є або $0$, або просте число $p$. У першому випадку поле $K$ містить як підполе поле ізоморфне полю раціональних чисел $\mathbb {Q}$, у другому випадку поле $K$ містить як підполе поле ізоморфне $\mathbb {F} _{p}$. У обох випадках це підполе називається простим полем (що міститься в $K$).
• Характеристикою скінченного поля є просте число. Натомість з того, що характеристика поля є ненульовою, не випливає, що поле є скінченним. Прикладами таких полів є поле раціональних функцій над $\mathbb {F} _{p}$ і замикання, алгебри поля $\mathbb {F} _{p}$.
• Якщо $R$ — комутативне кільце простої характеристики $p$, то $(a+b)^{p^{n}}=a^{p^{n}}+b^{p^{n}}$ для всіх $a,b\in R$, $n\in \mathbb {N}$.

Див. також

• Мрія першокурсника

Література

Українською

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

• Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
• Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.