Характеристичне число (інтегральні рівняння)

Характеристичне число ядра інтегрального рівняння — комплексне значення $\lambda$, за якого однорідне інтегральне рівняння Фредгольма другого роду

$\varphi (x)=\lambda \int _{G}K(x,y)\varphi (y)\,dy$

має нетривіальний (тобто не рівний тотожно нулю) розв'язок $\varphi (x)$, називаний власною функцією. Тут $G$ — ділянка в $\mathbb {R} ^{n}$, $K(x,y)$ — ядро інтегрального рівняння. Характеристичні числа — це величини, обернені власним значенням інтегрального оператора з ядром $K(x,y)$. Значення $\lambda$, які не є характеристичними числами, називають регулярними. Якщо $\lambda$ — регулярне значення, інтегральне рівняння Фредгольма другого роду

$\varphi (x)=\lambda \int _{G}K(x,y)\varphi (y)\,dy+f(x)$

має єдиний розв'язок за будь-якого вільного члена $f(x)$; характеристичні числа — це «особливі точки», в яких розв'язок не існує або існує безліч розв'язків, залежно від вільного члена $f(x)$.

Властивості

Характеристичні числа неперервного ядра мають такі властивості:

• Множина характеристичних чисел зліченна і не має скінченних граничних точок.
• Кратністю характеристичного числа називають кількість відповідних йому лінійно незалежних власних функцій. Кратність кожного характеристичного числа є скінченною.
• З перших двох властивостей випливає, що характеристичні числа можна пронумерувати в порядку зростання їх модуля:

$|\lambda _{1}|\leq |\lambda _{2}|\leq \dots ,$

повторюючи при цьому число $\lambda _{k}$ стільки разів, яка його кратність.

• ${\bar {\lambda }}_{1},\,{\bar {\lambda }}_{2},\dots$ — всі характеристичні числа союзного ядра $K^{*}(x,y)={\overline {K(y,x)}}$.
• Якщо $\lambda _{k}\neq \lambda _{i}$ і $\varphi _{k}=\lambda _{k}K\varphi _{k}$, $\psi _{i}={\bar {\lambda }}_{i}K^{*}\psi _{i}$, тобто $\varphi _{k}$ і $\psi _{i}$ — власні функції ядер $K(x,y)$ і $K^{*}(x,y)$ відповідно, то $(\varphi _{k},\psi _{i})=0$ — власні функції ортогональні в просторі $L_{2}(G)$.
• Повторне ядро $K_{p}(x,y)$ має характеристичні числа $\lambda _{k}^{p}$ і ті самі власні функції $\varphi _{k}$, що й ядро $K(x,y)$.
• Навпаки, якщо $\mu$ і $\varphi$ — характеристичне число та відповідна власна функція повторного ядра $K_{p}(x,y)$, то принаймні один із коренів $\lambda _{j},\,j=1,2,\dots ,p,$ рівняння $\lambda ^{p}=\mu$ є характеристичне число ядра $K(x,y)$.
• Множина характеристичних чисел ермітового неперервного ядра не порожня і розташована на дійсній осі, систему власних функцій можна обрати ортонормованою.
• Характеристичні числа збігаються з полюсами резольвенти.
• Вироджене ядро має скінченне число характеристичних чисел.
• Неперервне ядро Вольтерри не має характеристичних чисел.

Див. також

• Інтегральне рівняння Фредгольма
• Інтегральний оператор Фредгольма
• Ядро інтегрального оператора
• Резольвента інтегрального рівняння
• Альтернатива Фредгольма
• Власні вектори та власні значення

Література

• Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — Изд. 4-е. — М. : Наука, гл. ред. физ.-мат. лит, 1981. — 512 с.
• Краснов М. Л. Интегральные уравнения. (Введение в теорию). — М. : Наука, гл. ред. физ.-мат. лит, 1975.
• Манжиров А. В., Полянин А. Д. Справочник по интегральным уравнениям: Методы решения. — М. : Факториал Пресс, 2000. — 384 с. — ISBN 5-88688-046-1.