Центроїд трикутника

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Центроїд трикутника (також барицентр трикутника і центр ваги трикутника) — точка перетину медіан у трикутнику[1] .

Центроїд традиційно позначається латинською буквою . Центроїд трикутника належить до чудових точок трикутника і його згадано в енциклопедії центрів трикутника Кларка Кімберлінга, як точку X(2).

Властивості

[ред. | ред. код]
  • Центроїд ділить кожну медіану у відношенні 2:1, починаючи від вершини.
  • Центроїд лежить на відрізку, що з'єднує ортоцентр і центр описаного кола, і ділить його у відношенні 2:1 (див. лінія Ейлера).
  • Якщо у вершинах трикутника помістити рівні маси, то центр мас (барицентр) отриманої системи буде збігатися з центроїдом. Більш того, центр мас трикутника з рівномірно розподіленою масою також міститься у центроїді.
  • Якщо  — центроїд трикутника то для будь-якої точки справджується рівність
    .
  • Центроїд є точкою, для якої сума квадратів відстаней до вершин трикутника набуває найменшого значення (теорема Лейбніца).
  • Три відрізки прямих, що з'єднують вершини трикутника з центроїдом, розбивають цей трикутник на три рівновеликих трикутники (з рівними площами).
  • Три відрізки прямих, що з'єднують середини сторін трикутника з центроїдом, розбивають цей трикутник на три рівновеликих чотирикутники (з рівними площами).
  • При ізогональному сполученні центроїд переходить у точку Лемуана (в точку перетину трьох симедіан трикутника).
  • Побудуємо дві прямі, кожна з яких проходить через точку Аполлонія і точку Торрічеллі, що не збігається з ізогонально спряженою їй. Такі прямі перетнуться в центроїді трикутника.
  • Нехай  — трикутник на площині. Коло, що проходить через центроїд і дві точки Аполлонія трикутника , називається колом Паррі трикутника .
  • Три чевіани, проведені через довільну точку всередині трикутника, ділять своїми кінцями сторони трикутника на шість відрізків. Добуток довжин трьох із шести відрізків, які не мають спільних кінців, максимальний, якщо точка збігається з центроїдом[2].
  • Сума квадратів сторін трикутника дорівнює потроєній сумі квадратів відстаней від центроїда до вершин:
.[3]
  • Нехай , і  — відстані від центроїда до сторін з довжинами, які відповідно дорівнюють , і . Тоді[4] :173
і
,
де  — площа трикутника.

Історія

[ред. | ред. код]

Факт того, що три медіани перетинаються в одній точці, довів ще Архімед.

Варіації й узагальнення. Центроїди в чотирикутнику

[ред. | ред. код]
  • Центроїд (барицентр або центр мас) довільного чотирикутника лежить у точці перетину середніх ліній чотирикутника і відрізка, що з'єднує середини діагоналей, і ділить всі три відрізки навпіл.

Чотири відрізки, кожен з яких з'єднує вершину чотирикутника з центроїдом трикутника, утвореного іншими трьома вершинами, перетинаються в центрі ваги чотирикутника і діляться ним у відношенні 3:1, рахуючи від вершини.

  • Якщо у вписаному в коло чотирикутнику провести діагональ, а в отримані два трикутники вписати два кола, потім зробити так само, провівши другу діагональ, тоді центроїди цих чотирьох трикутників лежатимуть на одному колі[5].
  • В опуклого чотирикутника, вписаного в коло, «центроїд площі» або центр мас його площі Ga, вершинний центроїд або центр мас чотирьох його вершин Gv і точка перетину його діагоналей P колінеарні. Відстані між цими точками задає формула[6]

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Е. Смирнова. [1] — Litres, 2017-09-05. — С. 165. Архівовано з джерела 8 травня 2021
  2. Зетель, 1962.
  3. Altshiller-Court, (1925, с. 70—71)
  4. Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ. Co., 2007
  5. Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2004), 2.3 Cyclic quads, Mathematical Olympiad Treasures, Springer, с. 44—46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8, MR 2025063, архів оригіналу за 8 травня 2021, процитовано 8 травня 2021
  6. Bradley, Christopher (2011), Three Centroids created by a Cyclic Quadrilateral (PDF), архів оригіналу (PDF) за 17 січня 2021, процитовано 8 травня 2021

Література

[ред. | ред. код]
  • Понарин Я. П.[ru] Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 80-81. — ISBN 5-94057-170-0.
  • Дм. Ефремов. Новая геометрия треугольника 1902 год
  • Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М: Учпедгиз, 1962. 153 с.
  • Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (вид. 2nd), New York: Barnes & Noble, LCCN 52013504