Лінія Ейлера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Пряма Ейлера (червона) — це пряма, яка проходить через центроїд (помаранчевий), ортоцентр (синій), центр описаного кола (зелений) та центр кола дев'яти точок (червоний).

В геометрії пряма Ейлера, названа на честь Леонарда Ейлера, — це пряма, яка визначена для будь-якого трикутника відмінного від рівностороннього. Вона є центральною прямою[en] трикутника і проходить через кілька важливих точок, які визначаються по трикутнику, включаючи ортоцентр, описане коло, центроїд, точку Ексетера[en] та центр кола дев'яти точок трикутника[1].

Поняття прямої Ейлера в трикутнику поширюється на пряму Ейлера для інших фігур, такі як чотирикутник і тетраедр.

Центри трикутника на прямій Ейлера[ред. | ред. код]

Окремі центри[ред. | ред. код]

У 1765 році Ейлер показав, що в будь-якому трикутнику ортоцентр, центр описаного кола та центроїд лежать на одній прямій[2]. Ця властивість справедлива і для іншого центра трикутника, — центра кола дев'яти точок[en], хоча він не був визначений за часів Ейлера. У рівносторонніх трикутниках ці чотири точки збігаються, але в будь-якому іншому трикутнику всі вони відрізняються один від одного, і пряма Ейлера визначається будь-якими двома з них.

Інші визначні точки, які лежать на прямій Ейлера, включають точку Лонгшампа[en], точку Шифлера[en], точку Ексетера[en] та перспектор Госсара[en][1]. Однак центр вписаного кола, зазвичай, не лежить на прямій Ейлера[3]; він знаходиться на прямій Ейлера лише для рівнобедрених трикутників[4], для якої пряма Ейлера збігається з віссю симетрії трикутника і містить усі центри трикутника.

Тангенціальний трикутник опорного трикутника дотичний до кола описаного навколо останнього у вершинах опорного трикутника. Цент кола описаного навколо дотичного трикутника лежить на прямій Ейлера опорного трикутника[5]:p. 447[6]:p.104,#211;p.242,#346. Центр подібності[en] ортичного трикутника (утвореного основами висот) та дотичного трикутника також знаходиться на прямій Ейлера[5]:p. 447[6]:p. 102.

Векторне доведення[ред. | ред. код]

Розглянемо трикутник . Довести, що центр описаного кола , центроїд та ортоцентр є колінеарними, можна за допомогою векторів. По-перше, задовольняє відношенню:

Це випливає з того, що модулі барицентричних координат відносяться як . Далі, задача Сильвестра[7] інтерпретується як

Тепер, за допомогою векторного додавання, отримаємо, що

Додаючи усі ці три вирази, отримаємо, що

Остаточно, і три точки , і (у такій послідовності) будуть колінеарними.

У книзі Доррі[7] пряма Ейлера та проблема Сильвестра об'єднані в одне доведення. Однак більшість доказів задачі Сильвестра спираються на основні властивості вільних векторів, незалежно від прямої Ейлера.

Відстані між центрами[ред. | ред. код]

На прямій Ейлера центроїд знаходиться між центром описаного кола і ортоцентром , і вдвічі далі від ортоцентра, ніж від центра описаного кола[6]:p.102:

Відрізок  — це діаметр ортоцентроїдального кола[en].

Центр дев'ятиточкового кола лежить уздовж прямої Ейлера посередині між ортоцентром і центром описаного кола[1]:

Таким чином, пряма Ейлера може бути представлена на числовій прямій з центром описаного кола розташованим у 0, центроїдом в 2, дев'ятиточковому центрі в 3 і ортоцентрі[en] в 6, для деякого коефіцієнту масштабу . Крім того, квадрат відстані між центроїдом та центром описаного кола на прямій Ейлера менше, ніж R2 описаного кола на величину, яка дорівнює 1/9 сумі квадратів сторін трикутника , та [6]:p.71:

Також виконуються[6]:p.102,

Представлення[ред. | ред. код]

Нехай A, B, C позначають кути вершин трикутника, x : y : z — задають координати точки у трилінійних координатах; тоді рівнянням прямої Ейлера буде

Рівняння для прямої Ейлера в барицентричних координатах [8]:

Параметричне представлення[ред. | ред. код]

Інший спосіб представити пряму Ейлера — залежною від параметра t. Скористаємось трилінійними координатами двох точок — центром описаного кола (з трилінійними координатами ) та ортоцентром (з трилінійними координатами . Тоді кожна точка на прямій Ейлера, крім ортоцентра, задається трилінійними координатами

як лінійна комбінація трилінійними координат цих двох точок, для деякого t.

Наприклад:

  • Центр описаного кола має трилінійні координати , що відповідає значенню параметра
  • Центроїд має трилінійні координати , що відповідає значенню параметра
  • Центр кола дев'яти точок[en] має трилінійні координати , що відповідає значенню параметра
  • Точка Лонгшампа[en] має трилінійні координати , що відповідає значенню параметра

Нахил[ред. | ред. код]

У декартовій системі координат позначають нахили сторін трикутника як та і позначають нахил його прямої Ейлера як . Тоді вони пов'язані рівнянням[9]:Lemma 1

Таким чином, нахил прямої Ейлера (якщо він скінченний) виражається в термінах нахилів сторін як

Більше того, пряма Ейлера паралельна стороні гострого трикутника BC тоді і лише тоді, коли[9]:p.173

Зв'язок з вписаними рівносторонніми трикутниками[ред. | ред. код]

Геометричне місце точок центроїдів рівносторонніх трикутників, вписаних у даний трикутник, утворена двома прямими, перпендикулярними прямій Ейлера даного трикутника[10]:Coro. 4.

У спеціальних трикутниках[ред. | ред. код]

Прямокутний трикутник[ред. | ред. код]

У прямокутному трикутнику пряма Ейлера збігається з медіаною проведеною до гіпотенузи, тобто вона проходить через вершину прямого кута і через середину сторони, протилежну цій вершині. Це тому, що ортоцентр прямокутного трикутника, перетин його висот потрапляє у вершину прямого кута, тоді як його центр описаного кола, перетин серединних перпендикулярів до сторін, потрапляє на середину гіпотенузи.

Рівнобедрений трикутник[ред. | ред. код]

Пряма Ейлера в рівнобедреному трикутнику збігається з віссю симетрії. У рівнобедреному трикутнику центр вписаного кола потрапляє на лінію Ейлера.

Примітки[ред. | ред. код]

  1. а б в Kimberling, Clark (1998). Triangle centers and central triangles. Congressus Numerantium 129: i–xxv, 1–295. 
  2. Euler, Leonhard (1767). Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum [Easy solution of some difficult geometric problems]. Novi Commentarii Academiae Scientarum Imperialis Petropolitanae 11: 103–123. E325.  Reprinted in Opera Omnia, ser. I, vol. XXVI, pp. 139–157, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, Lausanne, 1953, MR0061061. Summarized at: Dartmouth College.
  3. Schattschneider, Doris; King, James (1997). Geometry Turned On: Dynamic Software in Learning, Teaching, and Research. The Mathematical Association of America. с. 3–4. ISBN 978-0883850992. 
  4. Edmonds, Allan L.; Hajja, Mowaffaq; Martini, Horst (2008). Orthocentric simplices and biregularity. Results in Mathematics[en] 52 (1–2): 41–50. MR 2430410. doi:10.1007/s00025-008-0294-4. «It is well known that the incenter of a Euclidean triangle lies on its Euler line connecting the centroid and the circumcenter if and only if the triangle is isosceles» .
  5. а б Leversha, Gerry; Smith, G. C. (November 2007). Euler and triangle geometry. The Mathematical Gazette[en] 91 (522): 436–452. JSTOR 40378417. .
  6. а б в г д Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover Publications, 2007 (orig. Barnes & Noble 1952).
  7. а б Dörrie, Heinrich, «100 Great Problems of Elementary Mathematics. Their History and Solution». Dover Publications, Inc., New York, 1965, ISBN 0-486-61348-8, pages 141 (Euler's Straight Line) and 142 (Problem of Sylvester)
  8. Scott, J.A., «Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry», Mathematical Gazette 83, November 1999, 472—477.
  9. а б Wladimir G. Boskoff, Laurent¸iu Homentcovschi, and Bogdan D. Suceava, «Gossard's Perspector and Projective Consequences», Forum Geometricorum, Volume 13 (2013), 169—184. [1]
  10. Francisco Javier Garc ́ıa Capita ́n, «Locus of Centroids of Similar Inscribed Triangles», Forum Geometricorum 16, 2016, 257—267 .http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201631.pdf

Посилання[ред. | ред. код]